Funktionen-Quadratische Funktion-Graph und Eigenschaften
$y = a\cdot x^{2} +b\cdot x+c$
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$Eigenschaften$
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Beispiel Nr: 26
$\begin{array}{l}
\text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c
\\ \text{Gesucht:} \\
\text{Scheitel und Scheitelform}\\
\text{Definitions- und Wertebereich} \\
\text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\
\text{Faktorisiere Form} \\
\text{Scheitel}
\\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y=-1x^2+8x-17\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y=-1x^2+8x-17\\
\\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\
\begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=-1x^2+8x-17 \\
y=-1(x^2-8x+17) \\
y=-1(x^2-8x+4^2-4^2+17) \\
y=-1[(x-4)^2-4^2+17] \\
y=-1[(x-4)^2-16+17] \\
y=-1[(x-4)^2+1] \\
y=-1(x-4)^2-1 \\
Scheitel(4/-1)
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=-1x^2+8x-17 \\
y=-1(x^2-8x)-17 \\
y=-1(x^2-8x+4^2-4^2)-17 \\
y=-1[(x-4)^2-4^2]-17 \\
y=-1[(x-4)^2-16]-17 \\
y=-1(x-4)^2+16-17 \\
y=-1(x-4)^2-1 \\
Scheitel(4/-1)
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline
y=-1x^2+8x-17 \\
xs=-\frac{8}{2\cdot \left(-1\right)} \\
xs=4 \\
ys=-17-\frac{8^2}{4\cdot\left(-1\right)} \\
ys=-1 \\
Scheitel(4/-1)\\
y=-1(x-4)^2-1
\end{array} \\
\end{array} \\ \\
\\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:} \\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty;(-1)]\\
\\\\
\\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y=-1x^2+8x-17 = 0 \\
\begin{array}{l|l|l}
\begin{array}{l}
\text{a-b-c Formel}\\ \hline
-1x^{2}+8x-17 =0\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{-8 \pm\sqrt{8^{2}-4 \cdot \left(-1\right) \cdot \left(-17\right)}}{2\cdot\left(-1\right)}\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{-8 \pm\sqrt{-4}}{-2}\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\end{array}&
\begin{array}{l}
\text{p-q Formel}\\ \hline
\\
-1x^{2}+8x-17 =0 \qquad /:-1
\\
x^{2}-8x+17 =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle -\frac{-8}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-8\right)}{2}\right)^2-17}
\\
x_{1/2}=\displaystyle 4\pm\sqrt{-1}
\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\end{array}\\ \end{array}\\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)<0\quad \text{unterhalb der x-Achse}} \end{array}$