Funktionen-Quadratische Funktion-Graph und Eigenschaften
$y = a\cdot x^{2} +b\cdot x+c$
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$Eigenschaften$
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Beispiel Nr: 31
$\begin{array}{l}
\text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c
\\ \text{Gesucht:} \\
\text{Scheitel und Scheitelform}\\
\text{Definitions- und Wertebereich} \\
\text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\
\text{Faktorisiere Form} \\
\text{Scheitel}
\\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y=-1x^2+4x-7\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y=-1x^2+4x-7\\
\\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\
\begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=-1x^2+4x-7 \\
y=-1(x^2-4x+7) \\
y=-1(x^2-4x+2^2-2^2+7) \\
y=-1[(x-2)^2-2^2+7] \\
y=-1[(x-2)^2-4+7] \\
y=-1[(x-2)^2+3] \\
y=-1(x-2)^2-3 \\
Scheitel(2/-3)
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=-1x^2+4x-7 \\
y=-1(x^2-4x)-7 \\
y=-1(x^2-4x+2^2-2^2)-7 \\
y=-1[(x-2)^2-2^2]-7 \\
y=-1[(x-2)^2-4]-7 \\
y=-1(x-2)^2+4-7 \\
y=-1(x-2)^2-3 \\
Scheitel(2/-3)
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline
y=-1x^2+4x-7 \\
xs=-\frac{4}{2\cdot \left(-1\right)} \\
xs=2 \\
ys=-7-\frac{4^2}{4\cdot\left(-1\right)} \\
ys=-3 \\
Scheitel(2/-3)\\
y=-1(x-2)^2-3
\end{array} \\
\end{array} \\ \\
\\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:} \\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty;(-3)]\\
\\\\
\\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y=-1x^2+4x-7 = 0 \\
\begin{array}{l|l|l}
\begin{array}{l}
\text{a-b-c Formel}\\ \hline
-1x^{2}+4x-7 =0\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4 \cdot \left(-1\right) \cdot \left(-7\right)}}{2\cdot\left(-1\right)}\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{-12}}{-2}\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\end{array}&
\begin{array}{l}
\text{p-q Formel}\\ \hline
\\
-1x^{2}+4x-7 =0 \qquad /:-1
\\
x^{2}-4x+7 =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle -\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-4\right)}{2}\right)^2-7}
\\
x_{1/2}=\displaystyle 2\pm\sqrt{-3}
\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\end{array}\\ \end{array}\\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)<0\quad \text{unterhalb der x-Achse}} \end{array}$