Funktionen-Quadratische Funktion-Graph und Eigenschaften
$y = a\cdot x^{2} +b\cdot x+c$
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$Eigenschaften$
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Beispiel Nr: 33
$\begin{array}{l}
\text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c
\\ \text{Gesucht:} \\
\text{Scheitel und Scheitelform}\\
\text{Definitions- und Wertebereich} \\
\text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\
\text{Faktorisiere Form} \\
\text{Scheitel}
\\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y=-\frac{1}{2}x^2+2x+5\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y=-\frac{1}{2}x^2+2x+5\\
\\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\
\begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=-\frac{1}{2}x^2+2x+5 \\
y=-\frac{1}{2}(x^2-4x-10) \\
y=-\frac{1}{2}(x^2-4x+2^2-2^2-10) \\
y=-\frac{1}{2}[(x-2)^2-2^2-10] \\
y=-\frac{1}{2}[(x-2)^2-4-10] \\
y=-\frac{1}{2}[(x-2)^2-14] \\
y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+7 \\
Scheitel(2/7)
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=-\frac{1}{2}x^2+2x+5 \\
y=-\frac{1}{2}(x^2-4x)+5 \\
y=-\frac{1}{2}(x^2-4x+2^2-2^2)+5 \\
y=-\frac{1}{2}[(x-2)^2-2^2]+5 \\
y=-\frac{1}{2}[(x-2)^2-4]+5 \\
y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+2+5 \\
y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+7 \\
Scheitel(2/7)
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline
y=-\frac{1}{2}x^2+2x+5 \\
xs=-\frac{2}{2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} \\
xs=2 \\
ys=5-\frac{2^2}{4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} \\
ys=7 \\
Scheitel(2/7)\\
y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+7
\end{array} \\
\end{array} \\ \\
\\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:} \\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty;7]\\
\\=-\frac{1}{2}(x+1,74)(x-5,74)\\
\\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y=-\frac{1}{2}x^2+2x+5 = 0 \\
\begin{array}{l|l|l}
\begin{array}{l}
\text{a-b-c Formel}\\ \hline
\\
-\frac{1}{2}x^{2}+2x+5 =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{-2 \pm\sqrt{2^{2}-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 5}}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm\sqrt{14}}{-1}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm3,74}{-1}
\\
x_{1}=\displaystyle \frac{-2 +3,74}{-1} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-2 -3,74}{-1}
\\
x_{1}=-1,74 \qquad x_{2}=5,74
\end{array}&
\begin{array}{l}
\text{p-q Formel}\\ \hline
\\
-\frac{1}{2}x^{2}+2x+5 =0 \qquad /:-\frac{1}{2}
\\
x^{2}-4x-10 =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle -\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-4\right)}{2}\right)^2- \left(-10\right)}
\\
x_{1/2}=\displaystyle 2\pm\sqrt{14}
\\
x_{1/2}=\displaystyle 2\pm3,74
\\
x_{1}=5,74 \qquad x_{2}=-1,74
\end{array}\\ \end{array}\\
\underline{x_1=-1,74; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=5,74; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-1,74&< x <&5,74&< x\\
\hline
f(x)&-&0&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-1,74;5,74[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-1,74[\quad \cup \quad]5,74;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \end{array}$