Funktionen-Quadratische Funktion-Graph und Eigenschaften
$y = a\cdot x^{2} +b\cdot x+c$
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$Eigenschaften$
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Beispiel Nr: 40
$\begin{array}{l}
\text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c
\\ \text{Gesucht:} \\
\text{Scheitel und Scheitelform}\\
\text{Definitions- und Wertebereich} \\
\text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\
\text{Faktorisiere Form} \\
\text{Scheitel}
\\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= \frac{1}{3}x^2-1x+1\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= \frac{1}{3}x^2-1x+1\\
\\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\
\begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=\frac{1}{3}x^2-1x+1 \\
y=\frac{1}{3}(x^2-3x+3) \\
y=\frac{1}{3}(x^2-3x+\left(1\frac{1}{2}\right)^2-\left(1\frac{1}{2}\right)^2+3) \\
y=\frac{1}{3}[(x-1\frac{1}{2})^2-\left(1\frac{1}{2}\right)^2+3] \\
y=\frac{1}{3}[(x-1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}+3] \\
y=\frac{1}{3}[(x-1\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}] \\
y=\frac{1}{3}(x-1\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4} \\
Scheitel(1\frac{1}{2}/\frac{1}{4})
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=\frac{1}{3}x^2-1x+1 \\
y=\frac{1}{3}(x^2-3x)+1 \\
y=\frac{1}{3}(x^2-3x+\left(1\frac{1}{2}\right)^2-\left(1\frac{1}{2}\right)^2)+1 \\
y=\frac{1}{3}[(x-1\frac{1}{2})^2-\left(1\frac{1}{2}\right)^2]+1 \\
y=\frac{1}{3}[(x-1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}]+1 \\
y=\frac{1}{3}(x-1\frac{1}{2})^2-\frac{3}{4}+1 \\
y=\frac{1}{3}(x-1\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4} \\
Scheitel(1\frac{1}{2}/\frac{1}{4})
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline
y=\frac{1}{3}x^2-1x+1 \\
xs=-\frac{-1}{2\cdot \frac{1}{3}} \\
xs=1\frac{1}{2} \\
ys=1-\frac{\left(-1\right)^2}{4\cdot\frac{1}{3}} \\
ys=\frac{1}{4} \\
Scheitel(1\frac{1}{2}/\frac{1}{4})\\
y=\frac{1}{3}(x-1\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}
\end{array} \\
\end{array} \\ \\
\\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:} \\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [\frac{1}{4};\infty[ \\
\\\\
\\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= \frac{1}{3}x^2-1x+1 = 0 \\
\begin{array}{l|l|l}
\begin{array}{l}
\text{a-b-c Formel}\\ \hline
\frac{1}{3}x^{2}-1x+1 =0\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1 \pm\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4 \cdot \frac{1}{3} \cdot 1}}{2\cdot\frac{1}{3}}\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1 \pm\sqrt{-\frac{1}{3}}}{\frac{2}{3}}\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\end{array}&
\begin{array}{l}
\text{p-q Formel}\\ \hline
\\
\frac{1}{3}x^{2}-1x+1 =0 \qquad /:\frac{1}{3}
\\
x^{2}-3x+3 =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle -\frac{-3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-3\right)}{2}\right)^2-3}
\\
x_{1/2}=\displaystyle 1\frac{1}{2}\pm\sqrt{-\frac{3}{4}}
\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\end{array}\\ \end{array}\\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}} \end{array}$