Funktionen-Quadratische Funktion-Graph und Eigenschaften
$y = a\cdot x^{2} +b\cdot x+c$
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$Eigenschaften$
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Beispiel Nr: 43
$\begin{array}{l}
\text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c
\\ \text{Gesucht:} \\
\text{Scheitel und Scheitelform}\\
\text{Definitions- und Wertebereich} \\
\text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\
\text{Faktorisiere Form} \\
\text{Scheitel}
\\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= 4x^2-2x+1\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= 4x^2-2x+1\\
\\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\
\begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=4x^2-2x+1 \\
y=4(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}) \\
y=4(x^2-\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{4}) \\
y=4[(x-\frac{1}{4})^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{4}] \\
y=4[(x-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}+\frac{1}{4}] \\
y=4[(x-\frac{1}{4})^2+\frac{3}{16}] \\
y=4(x-\frac{1}{4})^2+\frac{3}{4} \\
Scheitel(\frac{1}{4}/\frac{3}{4})
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=4x^2-2x+1 \\
y=4(x^2-\frac{1}{2}x)+1 \\
y=4(x^2-\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2)+1 \\
y=4[(x-\frac{1}{4})^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2]+1 \\
y=4[(x-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}]+1 \\
y=4(x-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{4}+1 \\
y=4(x-\frac{1}{4})^2+\frac{3}{4} \\
Scheitel(\frac{1}{4}/\frac{3}{4})
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline
y=4x^2-2x+1 \\
xs=-\frac{-2}{2\cdot 4} \\
xs=\frac{1}{4} \\
ys=1-\frac{\left(-2\right)^2}{4\cdot4} \\
ys=\frac{3}{4} \\
Scheitel(\frac{1}{4}/\frac{3}{4})\\
y=4(x-\frac{1}{4})^2+\frac{3}{4}
\end{array} \\
\end{array} \\ \\
\\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:} \\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [\frac{3}{4};\infty[ \\
\\\\
\\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= 4x^2-2x+1 = 0 \\
\begin{array}{l|l|l}
\begin{array}{l}
\text{a-b-c Formel}\\ \hline
4x^{2}-2x+1 =0\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{+2 \pm\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4 \cdot 4 \cdot 1}}{2\cdot4}\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{+2 \pm\sqrt{-12}}{8}\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\end{array}&
\begin{array}{l}
\text{p-q Formel}\\ \hline
\\
4x^{2}-2x+1 =0 \qquad /:4
\\
x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle -\frac{-\frac{1}{2}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{1}{4}\pm\sqrt{-\frac{3}{16}}
\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\end{array}\\ \end{array}\\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}} \end{array}$