Funktionen-Quadratische Funktion-Graph und Eigenschaften
$y = a\cdot x^{2} +b\cdot x+c$
1
2
3
4
5
6
7
8
$Eigenschaften$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
Beispiel Nr: 58
$\begin{array}{l}
\text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c
\\ \text{Gesucht:} \\
\text{Scheitel und Scheitelform}\\
\text{Definitions- und Wertebereich} \\
\text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\
\text{Faktorisiere Form} \\
\text{Scheitel}
\\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= 3x^2+4x+5\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= 3x^2+4x+5\\
\\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\
\begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=3x^2+4x+5 \\
y=3(x^2+1\frac{1}{3}x+1\frac{2}{3}) \\
y=3(x^2+1\frac{1}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^2-\left(\frac{2}{3}\right)^2+1\frac{2}{3}) \\
y=3[(x+\frac{2}{3})^2-\left(\frac{2}{3}\right)^2+1\frac{2}{3}] \\
y=3[(x+\frac{2}{3})^2-\frac{4}{9}+1\frac{2}{3}] \\
y=3[(x+\frac{2}{3})^2+1\frac{2}{9}] \\
y=3(x+\frac{2}{3})^2+3\frac{2}{3} \\
Scheitel(-\frac{2}{3}/3\frac{2}{3})
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=3x^2+4x+5 \\
y=3(x^2+1\frac{1}{3}x)+5 \\
y=3(x^2+1\frac{1}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^2-\left(\frac{2}{3}\right)^2)+5 \\
y=3[(x+\frac{2}{3})^2-\left(\frac{2}{3}\right)^2]+5 \\
y=3[(x+\frac{2}{3})^2-\frac{4}{9}]+5 \\
y=3(x+\frac{2}{3})^2-1\frac{1}{3}+5 \\
y=3(x+\frac{2}{3})^2+3\frac{2}{3} \\
Scheitel(-\frac{2}{3}/3\frac{2}{3})
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline
y=3x^2+4x+5 \\
xs=-\frac{4}{2\cdot 3} \\
xs=-\frac{2}{3} \\
ys=5-\frac{4^2}{4\cdot3} \\
ys=3\frac{2}{3} \\
Scheitel(-\frac{2}{3}/3\frac{2}{3})\\
y=3(x+\frac{2}{3})^2+3\frac{2}{3}
\end{array} \\
\end{array} \\ \\
\\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:} \\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [3\frac{2}{3};\infty[ \\
\\\\
\\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= 3x^2+4x+5 = 0 \\
\begin{array}{l|l|l}
\begin{array}{l}
\text{a-b-c Formel}\\ \hline
3x^{2}+4x+5 =0\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4 \cdot 3 \cdot 5}}{2\cdot3}\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{-44}}{6}\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\end{array}&
\begin{array}{l}
\text{p-q Formel}\\ \hline
\\
3x^{2}+4x+5 =0 \qquad /:3
\\
x^{2}+1\frac{1}{3}x+1\frac{2}{3} =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle -\frac{1\frac{1}{3}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1\frac{1}{3}}{2}\right)^2-1\frac{2}{3}}
\\
x_{1/2}=\displaystyle -\frac{2}{3}\pm\sqrt{-1\frac{2}{9}}
\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\end{array}\\ \end{array}\\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}} \end{array}$