Funktionen-Quadratische Funktion-Graph und Eigenschaften
$y = a\cdot x^{2} +b\cdot x+c$
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$Eigenschaften$
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Beispiel Nr: 59
$\begin{array}{l}
\text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c
\\ \text{Gesucht:} \\
\text{Scheitel und Scheitelform}\\
\text{Definitions- und Wertebereich} \\
\text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\
\text{Faktorisiere Form} \\
\text{Scheitel}
\\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= 3x^2+5x+6\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= 3x^2+5x+6\\
\\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\
\begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=3x^2+5x+6 \\
y=3(x^2+1\frac{2}{3}x+2) \\
y=3(x^2+1\frac{2}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^2-\left(\frac{5}{6}\right)^2+2) \\
y=3[(x+\frac{5}{6})^2-\left(\frac{5}{6}\right)^2+2] \\
y=3[(x+\frac{5}{6})^2-\frac{25}{36}+2] \\
y=3[(x+\frac{5}{6})^2+1\frac{11}{36}] \\
y=3(x+\frac{5}{6})^2+3\frac{11}{12} \\
Scheitel(-\frac{5}{6}/3\frac{11}{12})
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=3x^2+5x+6 \\
y=3(x^2+1\frac{2}{3}x)+6 \\
y=3(x^2+1\frac{2}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^2-\left(\frac{5}{6}\right)^2)+6 \\
y=3[(x+\frac{5}{6})^2-\left(\frac{5}{6}\right)^2]+6 \\
y=3[(x+\frac{5}{6})^2-\frac{25}{36}]+6 \\
y=3(x+\frac{5}{6})^2-2\frac{1}{12}+6 \\
y=3(x+\frac{5}{6})^2+3\frac{11}{12} \\
Scheitel(-\frac{5}{6}/3\frac{11}{12})
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline
y=3x^2+5x+6 \\
xs=-\frac{5}{2\cdot 3} \\
xs=-\frac{5}{6} \\
ys=6-\frac{5^2}{4\cdot3} \\
ys=3\frac{11}{12} \\
Scheitel(-\frac{5}{6}/3\frac{11}{12})\\
y=3(x+\frac{5}{6})^2+3\frac{11}{12}
\end{array} \\
\end{array} \\ \\
\\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:} \\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [3\frac{11}{12};\infty[ \\
\\\\
\\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= 3x^2+5x+6 = 0 \\
\begin{array}{l|l|l}
\begin{array}{l}
\text{a-b-c Formel}\\ \hline
3x^{2}+5x+6 =0\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{-5 \pm\sqrt{5^{2}-4 \cdot 3 \cdot 6}}{2\cdot3}\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{-5 \pm\sqrt{-47}}{6}\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\end{array}&
\begin{array}{l}
\text{p-q Formel}\\ \hline
\\
3x^{2}+5x+6 =0 \qquad /:3
\\
x^{2}+1\frac{2}{3}x+2 =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle -\frac{1\frac{2}{3}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1\frac{2}{3}}{2}\right)^2-2}
\\
x_{1/2}=\displaystyle -\frac{5}{6}\pm\sqrt{-1\frac{11}{36}}
\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\end{array}\\ \end{array}\\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}} \end{array}$