Funktionen-Quadratische Funktion-Graph und Eigenschaften
$y = a\cdot x^{2} +b\cdot x+c$
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$Eigenschaften$
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Beispiel Nr: 65
$\begin{array}{l}
\text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c
\\ \text{Gesucht:} \\
\text{Scheitel und Scheitelform}\\
\text{Definitions- und Wertebereich} \\
\text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\
\text{Faktorisiere Form} \\
\text{Scheitel}
\\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= 2x^2+3x+4\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= 2x^2+3x+4\\
\\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\
\begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=2x^2+3x+4 \\
y=2(x^2+1\frac{1}{2}x+2) \\
y=2(x^2+1\frac{1}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^2-\left(\frac{3}{4}\right)^2+2) \\
y=2[(x+\frac{3}{4})^2-\left(\frac{3}{4}\right)^2+2] \\
y=2[(x+\frac{3}{4})^2-\frac{9}{16}+2] \\
y=2[(x+\frac{3}{4})^2+1\frac{7}{16}] \\
y=2(x+\frac{3}{4})^2+2\frac{7}{8} \\
Scheitel(-\frac{3}{4}/2\frac{7}{8})
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=2x^2+3x+4 \\
y=2(x^2+1\frac{1}{2}x)+4 \\
y=2(x^2+1\frac{1}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^2-\left(\frac{3}{4}\right)^2)+4 \\
y=2[(x+\frac{3}{4})^2-\left(\frac{3}{4}\right)^2]+4 \\
y=2[(x+\frac{3}{4})^2-\frac{9}{16}]+4 \\
y=2(x+\frac{3}{4})^2-1\frac{1}{8}+4 \\
y=2(x+\frac{3}{4})^2+2\frac{7}{8} \\
Scheitel(-\frac{3}{4}/2\frac{7}{8})
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline
y=2x^2+3x+4 \\
xs=-\frac{3}{2\cdot 2} \\
xs=-\frac{3}{4} \\
ys=4-\frac{3^2}{4\cdot2} \\
ys=2\frac{7}{8} \\
Scheitel(-\frac{3}{4}/2\frac{7}{8})\\
y=2(x+\frac{3}{4})^2+2\frac{7}{8}
\end{array} \\
\end{array} \\ \\
\\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:} \\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [2\frac{7}{8};\infty[ \\
\\\\
\\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= 2x^2+3x+4 = 0 \\
\begin{array}{l|l|l}
\begin{array}{l}
\text{a-b-c Formel}\\ \hline
2x^{2}+3x+4 =0\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{-3 \pm\sqrt{3^{2}-4 \cdot 2 \cdot 4}}{2\cdot2}\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{-3 \pm\sqrt{-23}}{4}\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\end{array}&
\begin{array}{l}
\text{p-q Formel}\\ \hline
\\
2x^{2}+3x+4 =0 \qquad /:2
\\
x^{2}+1\frac{1}{2}x+2 =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle -\frac{1\frac{1}{2}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1\frac{1}{2}}{2}\right)^2-2}
\\
x_{1/2}=\displaystyle -\frac{3}{4}\pm\sqrt{-1\frac{7}{16}}
\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\end{array}\\ \end{array}\\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}} \end{array}$