Funktionen-Quadratische Funktion-Graph und Eigenschaften
$y = a\cdot x^{2} +b\cdot x+c$
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$Eigenschaften$
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Beispiel Nr: 66
$\begin{array}{l}
\text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c
\\ \text{Gesucht:} \\
\text{Scheitel und Scheitelform}\\
\text{Definitions- und Wertebereich} \\
\text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\
\text{Faktorisiere Form} \\
\text{Scheitel}
\\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= 5x^2+6x+7\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= 5x^2+6x+7\\
\\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\
\begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=5x^2+6x+7 \\
y=5(x^2+1\frac{1}{5}x+1\frac{2}{5}) \\
y=5(x^2+1\frac{1}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2+1\frac{2}{5}) \\
y=5[(x+\frac{3}{5})^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2+1\frac{2}{5}] \\
y=5[(x+\frac{3}{5})^2-\frac{9}{25}+1\frac{2}{5}] \\
y=5[(x+\frac{3}{5})^2+1\frac{1}{25}] \\
y=5(x+\frac{3}{5})^2+5\frac{1}{5} \\
Scheitel(-\frac{3}{5}/5\frac{1}{5})
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=5x^2+6x+7 \\
y=5(x^2+1\frac{1}{5}x)+7 \\
y=5(x^2+1\frac{1}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2)+7 \\
y=5[(x+\frac{3}{5})^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2]+7 \\
y=5[(x+\frac{3}{5})^2-\frac{9}{25}]+7 \\
y=5(x+\frac{3}{5})^2-1\frac{4}{5}+7 \\
y=5(x+\frac{3}{5})^2+5\frac{1}{5} \\
Scheitel(-\frac{3}{5}/5\frac{1}{5})
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline
y=5x^2+6x+7 \\
xs=-\frac{6}{2\cdot 5} \\
xs=-\frac{3}{5} \\
ys=7-\frac{6^2}{4\cdot5} \\
ys=5\frac{1}{5} \\
Scheitel(-\frac{3}{5}/5\frac{1}{5})\\
y=5(x+\frac{3}{5})^2+5\frac{1}{5}
\end{array} \\
\end{array} \\ \\
\\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:} \\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [5\frac{1}{5};\infty[ \\
\\\\
\\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= 5x^2+6x+7 = 0 \\
\begin{array}{l|l|l}
\begin{array}{l}
\text{a-b-c Formel}\\ \hline
5x^{2}+6x+7 =0\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{-6 \pm\sqrt{6^{2}-4 \cdot 5 \cdot 7}}{2\cdot5}\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{-6 \pm\sqrt{-104}}{10}\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\end{array}&
\begin{array}{l}
\text{p-q Formel}\\ \hline
\\
5x^{2}+6x+7 =0 \qquad /:5
\\
x^{2}+1\frac{1}{5}x+1\frac{2}{5} =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle -\frac{1\frac{1}{5}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1\frac{1}{5}}{2}\right)^2-1\frac{2}{5}}
\\
x_{1/2}=\displaystyle -\frac{3}{5}\pm\sqrt{-1\frac{1}{25}}
\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\end{array}\\ \end{array}\\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}} \end{array}$