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Geometrie - Grundlagen
Definitionen
Strahlensatz (Vierstreckensatz)
Geometrie - Dreieck
Eigenschaften des Dreiecks
Interaktiv
Besondere Linien im Dreieck
Interaktiv
Allgemeines Dreieck
$A = \frac{g \cdot h}{2}$
$g = \frac{A\cdot 2}{ h}$
$h = \frac{A\cdot 2}{ g}$
$A =\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sin(\gamma)$
$U = a+b+c$
Gleichseitiges Dreieck
$A = \frac{a^{2} }{4}\cdot \sqrt{3}$
$a = \sqrt{\frac{A\cdot 4}{\sqrt{3}}}$
$h = \frac{a}{2}\cdot \sqrt{3}$
$a = \frac{h\cdot 2}{\sqrt{3}}$
Gleichschenkliges Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck
$A = \frac{a\cdot b}{ 2}$
$a = \frac{A \cdot 2}{ b}$
$b = \frac{A \cdot 2}{ a}$
$c =\sqrt{a^{2} + b^{2} }$
$a =\sqrt{c^{2} - b^{2} }$
$b =\sqrt{c^{2} - a^{2} }$
$h = \sqrt{p\cdot q}$
$q = \frac{h^{2} }{p}$
$p = \frac{h^{2} }{q}$
$a = \sqrt{c\cdot p}$
$c = \frac{a^{2} }{p}$
$p = \frac{a^{2} }{c}$
Gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck
$A = \frac{a\cdot b}{ 2}$
$a = \frac{A \cdot 2}{ b}$
$b = \frac{A \cdot 2}{ a}$
$c =\sqrt{a^{2} + b^{2} }$
$a =\sqrt{c^{2} - b^{2} }$
$b =\sqrt{c^{2} - a^{2} }$
$h = \sqrt{p\cdot q}$
$q = \frac{h^{2} }{p}$
$p = \frac{h^{2} }{q}$
$a = \sqrt{c\cdot p}$
$c = \frac{a^{2} }{p}$
$p = \frac{a^{2} }{c}$
Kongruenzsätze
Interaktiv
Pythagoras - Höhensatz - Kathetensatz
Geometrie - Viereck
Allgemeines Viereck
Quadrat
$A = a^{2}$
$a = \sqrt{A}$
$U = 4\cdot a$
$a = \frac{U}{4}$
$d = a\cdot \sqrt{2}$
$a = \frac{d}{\sqrt{2}}$
Rechteck
$A = a\cdot b$
$a = \frac{A}{b}$
$b = \frac{A}{a}$
$U = 2\cdot a + 2\cdot b$
$a = \frac{U - 2\cdot b}{ 2}$
$b = \frac{U - 2\cdot a}{ 2}$
$d = \sqrt{a^{2} +b^{2} }$
$b = \sqrt{d^{2} -a^{2} }$
$a = \sqrt{d^{2} -b^{2} }$
Parallelogramm
$A = g\cdot h$
$g = \frac{A}{h}$
$h = \frac{A}{g}$
Raute
$A = \frac{1}{2}\cdot e\cdot f$
$e = \frac{2\cdot A}{ f}$
$f = \frac{2\cdot A}{ e}$
Drachen
$A = \frac{1}{2}\cdot e\cdot f$
$e = \frac{2\cdot A}{ f}$
$f = \frac{2\cdot A}{ e}$
Allgemeines Trapez
$A = \frac{a+c}{ 2}\cdot h$
$a = \frac{2\cdot A}{ h} - c$
$c = \frac{2\cdot A}{ h} - a$
$h = \frac{2\cdot A}{a+c}$
Gleichschenkliges Trapez
$A = \frac{a+c}{ 2}\cdot h$
$a = \frac{2\cdot A}{ h} - c$
$c = \frac{2\cdot A}{ h} - a$
$h = \frac{2\cdot A}{a+c}$
Rechtwinkliges Trapez
$A = \frac{a+c}{ 2}\cdot h$
$a = \frac{2\cdot A}{ h} - c$
$c = \frac{2\cdot A}{ h} - a$
$h = \frac{2\cdot A}{a+c}$
Geometrie - Polygone (n-Ecken)
Regelmäßiges n-Eck
Sechseck
$A = \frac{3 \cdot a^{2} }{2}\cdot \sqrt{3}$
$a = \sqrt{\frac{A\cdot 2}{3 \cdot \sqrt{3}}}$
$\rho= \frac{a}{2}\cdot \sqrt{3}$
$a = \frac{\rho \cdot 2}{\sqrt{3}}$
Geometrie - Kreis
Kreis
$d= 2\cdot r$
$r= \frac{d}{2}$
$A = r^{2} \cdot \pi$
$r = \sqrt{\frac{A}{\pi }}$
$U = 2\cdot r\cdot \pi$
$r = \frac{ U}{2\cdot \pi }$
Kreissektor (Grad)
$A = \frac{r^{2} \cdot \pi \cdot \alpha }{ 360}$
$r = \sqrt{\frac{A\cdot 360}{\alpha \cdot \pi }}$
$\alpha = \frac{A\cdot 360}{r^{2} \cdot \pi }$
$b = \frac{2\cdot r\cdot \pi \cdot \alpha }{ 360}$
$r = \frac{b\cdot 360}{\alpha \cdot \pi \cdot 2}$
$\alpha = \frac{b\cdot 360}{r\cdot \pi \cdot 2}$
Kreissektor (Bogenmaß)
$A = \frac{r^{2} \cdot x }{ 2}$
$r = \sqrt{\frac{A\cdot 2}{x }}$
$x = \frac{A\cdot 2}{r^{2} }$
$b = r\cdot x$
$r = \frac{b}{x }$
$x = \frac{b}{r}$
Interaktiv
Kreisring
$A = (r_{a} ^{2} - r_{i} ^{2} )\cdot\pi$
$r_{a} = \sqrt{\frac{A}{\pi } + r_{i} ^{2} }$
$r_{i} = \sqrt{r_{a} ^{2} - \frac{A}{\pi } }$
Geometrie - Stereometrie
Prisma
$V = G\cdot h$
$G = \frac{V}{h}$
$h = \frac{V}{G}$
$O = 2\cdot G +M $
$G = \frac{O-M}{2}$
$M = O- 2\cdot G $
Würfel
$V = a^{3}$
$a = ^{3} \sqrt{V}$
$O = 6\cdot a^{2}$
$a = \sqrt{\frac{O}{6}}$
$d = a\cdot \sqrt{3}$
$a = \frac{d}{\sqrt{3}}$
Quader
$V = a\cdot b\cdot c$
$a = \frac{ V}{b\cdot c}$
$b = \frac{ V}{a\cdot c}$
$c = \frac{ V}{b\cdot a}$
$O = 2\cdot (a\cdot b + a\cdot c + b\cdot c)$
$a = \frac{O-2\cdot b\cdot c}{2\cdot (b+c)}$
$b = \frac{O-2\cdot a\cdot c}{2\cdot (a+c)}$
$c = \frac{O-2\cdot b\cdot a}{2\cdot (b+a)}$
$d = \sqrt{a^{2} +b^{2} +c^{2} }$
$a = \sqrt{d^{2} -b^{2} -c^{2} }$
$b = \sqrt{d^{2} -a^{2} -c^{2} }$
$c = \sqrt{d^{2} -b^{2} -a^{2} }$
Pyramide
$V =\frac{1}{3} G\cdot h$
$G = \frac{3 \cdot V}{h}$
$h = \frac{3 \cdot V}{G}$
$O = G +M $
$G = O-M$
$M = O- G $
$\text{Rechteckige Pyramide}$
$\text{Quadratische Pyramide}$
Kreiszylinder
$V = r^{2} \cdot \pi \cdot h$
$r = \sqrt{\frac{ V}{\pi \cdot h}}$
$h = \frac{ V}{r^{2} \cdot \pi }$
$O = 2\cdot r\cdot \pi \cdot (r+h)$
$r = 0,5\cdot (-h+\sqrt{h^{2} +\frac{O}{\pi }})$
$h = \frac{0-2\cdot \pi \cdot r^{2} }{ 2\cdot r\cdot \pi }$
Hohlzylinder
$V = (r_{1} ^{2} - r_{2} ^{2} )\cdot \pi \cdot h$
$r_{1} = \sqrt{\frac{ V}{\pi \cdot h}+r_{2} ^{2} }$
$r_{2} = \sqrt{r_{1} ^{2} - \frac{ V}{\pi \cdot h}}$
$h = \frac{ V}{(r_{1} ^{2} - r_{2} ^{2} )\cdot \pi }$
Kreiskegel
$V = \frac{1}{3}\cdot r^{2} \cdot \pi \cdot h$
$r = \sqrt{\frac{3\cdot V}{\pi \cdot h}}$
$h = \frac{3\cdot V}{r^{2} \cdot \pi }$
$O = r\cdot \pi \cdot (r+s)$
$s = \frac{ O}{r\cdot \pi } - r$
$r = \frac{-\pi \cdot s + \sqrt{(\pi \cdot s)^{2} +4\cdot \pi \cdot O}}{ 2\cdot \pi }$
$M = r\cdot \pi \cdot s$
$s = \frac{ M}{r\cdot \pi }$
$r = \frac{ M}{s\cdot \pi }$
$s =\sqrt{h^{2} + r^{2} }$
$r =\sqrt{s^{2} - h^{2} }$
$h =\sqrt{s^{2} - r^{2} }$
Kegelstumpf
$Kegelstumpf$
Kugel
$V = \frac{4}{3}\cdot r^{3} \cdot \pi$
$r = ^{3} \sqrt{\frac{V\cdot 3}{4\cdot \pi }}$
$O = 4\cdot r^{2} \cdot \pi$
$r = \sqrt{\frac{ O}{\pi \cdot 4}}$
Geometrie - Trigonometrie
Gradmaß - Bogenmaß
$\alpha = \frac{180}{ \pi} \cdot x$
$x = \frac{\pi }{180}\cdot \alpha $
Definition
$\sin \alpha - \cos \alpha - \tan \alpha $
$\sin \alpha = y $
$\cos \alpha = x $
$\tan \alpha = m $
Quadrantenregel
$\sin \alpha - \cos \alpha - \tan \alpha $
$\sin \alpha = y $
$\cos \alpha = x $
$\tan \alpha = m $
Umrechnungen
$sin \alpha = \sqrt{1 - cos^{2} \alpha }$
$cos \alpha = \sqrt{1 - sin^{2} \alpha }$
$tan \alpha = \frac{sin \alpha }{cos \alpha }$
$sin \alpha = tan\alpha \cdot cos \alpha$
$cos \alpha = \frac{sin \alpha }{tan \alpha }$
Rechtwinkliges Dreieck
$sin \alpha = \frac{a}{c}$
$a = sin \alpha \cdot c$
$c = \frac{ a}{sin\alpha }$
$cos \alpha = \frac{b}{c}$
$b = cos \alpha \cdot c$
$c = \frac{ b}{cos \alpha }$
$tan \alpha = \frac{a}{b}$
$a = tan \alpha \cdot b$
$b = \frac{ a}{tan\alpha }$
Sinussatz
$a = \frac{b\cdot sin\alpha }{ sin\beta }$
$sin\alpha = \frac{a\cdot sin\beta }{ b}$
Kosinussatz
$a = \sqrt{b^{2} +c^{2} -2\cdot b\cdot c\cdot cos\alpha }$
$cos\alpha = \frac{b^{2} +c^{2} -a^{2} }{2\cdot b\cdot c}$
Kongruenzsätze - Berechnungen am Dreieck
Interaktiv