Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
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Beispiel Nr: 08
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=-2x^2+4 \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-2x^2+4=-2(x+1,41)(x-1,41)\\
f'\left(x\right)=-4x\\
f''\left(x\right)=-4\\
F(x)=\int_{}^{}(-2x^2+4)dx=-\frac{2}{3}x^3+4x+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,4] \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^2(-2+\dfrac{4}{x^2}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-2\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-2\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-2\cdot (-x)^{2}+4 \\
f\left(-x\right)=-2\cdot x^{2}+4 \\
f\left(-x\right)= f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zur y-Achse:}
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-2x^2+4 = 0 \\ \\
-2x^2+4 =0 \qquad /-4 \\
-2x^2= -4 \qquad /:\left(-2\right) \\
x^2=\displaystyle\frac{-4}{-2} \\
x=\pm\sqrt{2} \\
x_1=1,41 \qquad x_2=-1,41
\\ \underline{x_1=-1,41; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1,41; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-1,41&< x <&1,41&< x\\
\hline
f(x)&-&0&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-1,41;1,41[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-1,41[\quad \cup \quad]1,41;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-4x = 0 \\ x=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=-4 \\
f''(0)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0/4)} \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &0&< x\\
\hline
f'(x)&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1,41}^{1,41}\left(-2x^2+4\right)dx=\left[-\frac{2}{3}x^3+4x\right]_{-1,41}^{1,41}
\\ =\left(-\frac{2}{3}\cdot 1,41^{3}+4\cdot 1,41\right)-\left(-\frac{2}{3}\cdot (-1,41)^{3}+4\cdot (-1,41)\right)
\\ =\left(3,77\right)-\left(-3,77\right)=7,54
\\ \\
\end{array}$