Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 77
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^4-4x^3+4x^2 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^4-4x^3+4x^2=x^2(x-2)^2\\ f'\left(x\right)= 4x^3-12x^2+8x=4x(x-1)(x-2)\\ f''\left(x\right)= 12x^2-24x+8=12(x-0,423)(x-1,58)\\ f'''\left(x\right)= 24x-24 \\ F(x)=\int_{}^{}( x^4-4x^3+4x^2)dx= \frac{1}{5}x^5-1x^4+1\frac{1}{3}x^3+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [0,\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4( 1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^4]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^4]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{4}-4\cdot (-x)^{3}+4\cdot (-x)^{2} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^4-4x^3+4x^2 = 0 \\ x^2( x^2-4x+4)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad x^2-4x+4=0\\ \\ 1x^{2}-4x+4 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+4 \pm\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+4 \pm\sqrt{0}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{4 \pm0}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{4 +0}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{4 -0}{2} \\ x_{1}=2 \qquad x_{2}=2 \\ \underline{x_1=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&+&0&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 4x^3-12x^2+8x = 0 \\ x( 4x^2-12x+8)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 4x^2-12x+8=0\\ \\ 4x^{2}-12x+8 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+12 \pm\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\cdot 4 \cdot 8}}{2\cdot4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+12 \pm\sqrt{16}}{8} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{12 \pm4}{8} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{12 +4}{8} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{12 -4}{8} \\ x_{1}=2 \qquad x_{2}=1 \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=8>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/0)} \\ f''(1)=-4 \\ f''(1)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1/1)} \\ f''(2)=8>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&1&< x <&2&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;1[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]1;2[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 12x^2-24x+8 = 0 \\ \\ \\ 12x^{2}-24x+8 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+24 \pm\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\cdot 12 \cdot 8}}{2\cdot12} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+24 \pm\sqrt{192}}{24} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{24 \pm13,9}{24} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{24 +13,9}{24} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{24 -13,9}{24} \\ x_{1}=1,58 \qquad x_{2}=0,423 \\ \underline{x_6=0,423; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=1,58; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(0,423)=\frac{4}{9}\\ f'''(0,423) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0,423/\frac{4}{9})}\\ f'''(1,58)=\frac{4}{9}\\ f'''(1,58) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1,58/\frac{4}{9})}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0,423&< x <&1,58&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0,423[\quad \cup \quad]1,58;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0,423;1,58[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{2}\left( x^4-4x^3+4x^2\right)dx=\left[ \frac{1}{5}x^5-1x^4+1\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{2} \\ =\left(\frac{1}{5}\cdot 2^{5}-1\cdot 2^{4}+1\frac{1}{3}\cdot 2^{3}\right)-\left(\frac{1}{5}\cdot 0^{5}-1\cdot 0^{4}+1\frac{1}{3}\cdot 0^{3}\right) \\ =\left(1\frac{1}{15}\right)-\left(0\right)=1\frac{1}{15} \\ \\ $