Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 81
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^4-18x^2+81 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^4-18x^2+81=(x+3)^2(x-3)^2\\ f'\left(x\right)= 4x^3-36x=4(x+3)x(x-3)\\ f''\left(x\right)= 12x^2-36=12(x+1,73)(x-1,73)\\ f'''\left(x\right)= 24x \\ F(x)=\int_{}^{}( x^4-18x^2+81)dx= \frac{1}{5}x^5-6x^3+81x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [0,\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4( 1-\dfrac{18}{x^2}+\dfrac{81}{x^4}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^4]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^4]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{4}-18\cdot (-x)^{2}+81 \\ f\left(-x\right)=1\cdot x^{4}-18\cdot x^{2}+81 \\ f\left(-x\right)= f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zur y-Achse:} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^4-18x^2+81 = 0 \\ \\ \\ u=x^{2} \qquad u^2=x^{4} \\ 1u^{2}-18u+81 =0 \\ \\ u_{1/2}=\displaystyle\frac{+18 \pm\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot 81}}{2\cdot1} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{+18 \pm\sqrt{0}}{2} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{18 \pm0}{2} \\ u_{1}=\displaystyle \frac{18 +0}{2} \qquad u_{2}=\displaystyle \frac{18 -0}{2} \\ u_{1}=9 \qquad u_{2}=9 \\ x^2= 9 \\ x=\pm\sqrt{9} \\ x_1=3 \qquad x_2=-3 \\ x^2= 9 \\ x=\pm\sqrt{9} \\ x_1=3 \qquad x_2=-3 \\ \underline{x_1=-3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&+&0&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]-3;3[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 4x^3-36x = 0 \\ x( 4x^2-36)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 4x^2-36=0\\ 4x^2-36 =0 \qquad /+36 \\ 4x^2= 36 \qquad /:4 \\ x^2=\displaystyle\frac{36}{4} \\ x=\pm\sqrt{9} \\ x_1=3 \qquad x_2=-3 \\ \underline{x_3=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-3)=72>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-3/0)} \\ f''(0)=-36 \\ f''(0)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0/81)} \\ f''(3)=72>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (3/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x <&0&< x <&3&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3;0[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]0;3[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 12x^2-36 = 0 \\ \\ 12x^2-36 =0 \qquad /+36 \\ 12x^2= 36 \qquad /:12 \\ x^2=\displaystyle\frac{36}{12} \\ x=\pm\sqrt{3} \\ x_1=1,73 \qquad x_2=-1,73 \\ \underline{x_6=-1,73; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=1,73; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-1,73)=36\\ f'''(-1,73) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-1,73/36)}\\ f'''(1,73)=36\\ f'''(1,73) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1,73/36)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,73&< x <&1,73&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,73[\quad \cup \quad]1,73;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,73;1,73[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-3}^{3}\left( x^4-18x^2+81\right)dx=\left[ \frac{1}{5}x^5-6x^3+81x\right]_{-3}^{3} \\ =\left(\frac{1}{5}\cdot 3^{5}-6\cdot 3^{3}+81\cdot 3\right)-\left(\frac{1}{5}\cdot (-3)^{5}-6\cdot (-3)^{3}+81\cdot (-3)\right) \\ =\left(129\frac{3}{5}\right)-\left(-129\frac{3}{5}\right)=259\frac{1}{5} \\ \\ $