Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 19
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{32}{81}x^2-\frac{32}{81}x+7\frac{73}{81} \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{32}{81}x^2-\frac{32}{81}x+7\frac{73}{81}=-\frac{32}{81}(x+5)(x-4)\\ f'\left(x\right)=-\frac{64}{81}x-\frac{32}{81}\\ f''\left(x\right)=-\frac{64}{81}\\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{32}{81}x^2-\frac{32}{81}x+7\frac{73}{81})dx=-0,132x^3-\frac{16}{81}x^2+7\frac{73}{81}x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,8] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2(-\frac{32}{81}-\dfrac{\frac{32}{81}}{x}+\dfrac{7\frac{73}{81}}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{32}{81}\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{32}{81}\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{32}{81}\cdot (-x)^{2}-\frac{32}{81}\cdot (-x)+7\frac{73}{81} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{32}{81}x^2-\frac{32}{81}x+7\frac{73}{81} = 0 \\ \\ \\ -\frac{32}{81}x^{2}-\frac{32}{81}x+7\frac{73}{81} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+\frac{32}{81} \pm\sqrt{\left(-\frac{32}{81}\right)^{2}-4\cdot \left(-\frac{32}{81}\right) \cdot 7\frac{73}{81}}}{2\cdot\left(-\frac{32}{81}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+\frac{32}{81} \pm\sqrt{12\frac{52}{81}}}{-\frac{64}{81}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{\frac{32}{81} \pm3\frac{5}{9}}{-\frac{64}{81}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{\frac{32}{81} +3\frac{5}{9}}{-\frac{64}{81}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{\frac{32}{81} -3\frac{5}{9}}{-\frac{64}{81}} \\ x_{1}=-5 \qquad x_{2}=4 \\ \underline{x_1=-5; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-5&< x <&4&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-5;4[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-5[\quad \cup \quad]4;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-\frac{64}{81}x-\frac{32}{81} = 0 \\ \\ -\frac{64}{81} x-\frac{32}{81} =0 \qquad /+\frac{32}{81} \\ -\frac{64}{81} x= \frac{32}{81} \qquad /:\left(-\frac{64}{81}\right) \\ x=\displaystyle\frac{\frac{32}{81}}{-\frac{64}{81}}\\ x=-\frac{1}{2} \\ \underline{x_3=-\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-\frac{1}{2})=-\frac{64}{81} \\ f''(-\frac{1}{2})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-\frac{1}{2}/8)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{1}{2}&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{1}{2}[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{1}{2};\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-5}^{4}\left(-\frac{32}{81}x^2-\frac{32}{81}x+7\frac{73}{81}\right)dx=\left[-0,132x^3-\frac{16}{81}x^2+7\frac{73}{81}x\right]_{-5}^{4} \\ =\left(-0,132\cdot 4^{3}-\frac{16}{81}\cdot 4^{2}+7\frac{73}{81}\cdot 4\right)-\left(-0,132\cdot (-5)^{3}-\frac{16}{81}\cdot (-5)^{2}+7\frac{73}{81}\cdot (-5)\right) \\ =\left(20\right)-\left(-28\right)=48 \\ \\ $