Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 92
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{1}{2}x^4-3x^3+5x^2 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{2}x^4-3x^3+5x^2=\frac{1}{2}(x^2-6x+10)x^2\\ f'\left(x\right)= 2x^3-9x^2+10x=2x(x-2)(x-2\frac{1}{2})\\ f''\left(x\right)= 6x^2-18x+10=6(x-0,736)(x-2,26)\\ f'''\left(x\right)= 12x-18 \\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{2}x^4-3x^3+5x^2)dx= \frac{1}{10}x^5-\frac{3}{4}x^4+1\frac{2}{3}x^3+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [0,\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4( \frac{1}{2}-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{2}\cdot \infty^4]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{2}\cdot (-\infty)^4]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{2}\cdot (-x)^{4}-3\cdot (-x)^{3}+5\cdot (-x)^{2} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{2}x^4-3x^3+5x^2 = 0 \\ x^2( \frac{1}{2}x^2-3x+5)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad \frac{1}{2}x^2-3x+5=0\\ \frac{1}{2}x^{2}-3x+5 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+3 \pm\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5}}{2\cdot\frac{1}{2}}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+3 \pm\sqrt{-1}}{1}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \underline{x_1=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f(x)&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 2x^3-9x^2+10x = 0 \\ x( 2x^2-9x+10)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 2x^2-9x+10=0\\ \\ 2x^{2}-9x+10 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+9 \pm\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\cdot 2 \cdot 10}}{2\cdot2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+9 \pm\sqrt{1}}{4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{9 \pm1}{4} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{9 +1}{4} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{9 -1}{4} \\ x_{1}=2\frac{1}{2} \qquad x_{2}=2 \\ \underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=2\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=10>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/0)} \\ f''(2)=-2 \\ f''(2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (2/4)} \\ f''(2\frac{1}{2})=2\frac{1}{2}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2\frac{1}{2}/3\frac{29}{32})} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&2&< x <&2\frac{1}{2}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;2[\quad \cup \quad]2\frac{1}{2};\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]2;2\frac{1}{2}[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 6x^2-18x+10 = 0 \\ \\ \\ 6x^{2}-18x+10 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+18 \pm\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\cdot 6 \cdot 10}}{2\cdot6} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+18 \pm\sqrt{84}}{12} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{18 \pm9,17}{12} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{18 +9,17}{12} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{18 -9,17}{12} \\ x_{1}=2,26 \qquad x_{2}=0,736 \\ \underline{x_5=0,736; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=2,26; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(0,736)=1,66\\ f'''(0,736) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0,736/1,66)}\\ f'''(2,26)=3,95\\ f'''(2,26) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (2,26/3,95)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0,736&< x <&2,26&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0,736[\quad \cup \quad]2,26;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0,736;2,26[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\\text{keine Fläche} \\ \\ $