Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 04
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-2x^2-8x \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-2x^2-8x=-2(x+4)x\\ f'\left(x\right)=-4x-8\\ f''\left(x\right)=-4\\ F(x)=\int_{}^{}(-2x^2-8x)dx=-\frac{2}{3}x^3-4x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,8] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2(-2-\dfrac{8}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-2\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-2\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-2\cdot (-x)^{2}-8\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-2x^2-8x = 0 \\ x(-2x-8)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-2x-8=0\\ -2 x-8 =0 \qquad /+8 \\ -2 x= 8 \qquad /:\left(-2\right) \\ x=\displaystyle\frac{8}{-2}\\ x=-4 \\ \underline{x_1=-4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-4&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-4;0[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-4[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-4x-8 = 0 \\ \\ -4 x-8 =0 \qquad /+8 \\ -4 x= 8 \qquad /:\left(-4\right) \\ x=\displaystyle\frac{8}{-4}\\ x=-2 \\ \underline{x_3=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2)=-4 \\ f''(-2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-2/8)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-4}^{0}\left(-2x^2-8x\right)dx=\left[-\frac{2}{3}x^3-4x^2\right]_{-4}^{0} \\ =\left(-\frac{2}{3}\cdot 0^{3}-4\cdot 0^{2}\right)-\left(-\frac{2}{3}\cdot (-4)^{3}-4\cdot (-4)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(-21\frac{1}{3}\right)=21\frac{1}{3} \\ \\ $