Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 21
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{3}{4}x^2-3x \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{3}{4}x^2-3x=-\frac{3}{4}(x+4)x\\ f'\left(x\right)=-1\frac{1}{2}x-3\\ f''\left(x\right)=-1\frac{1}{2}\\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{3}{4}x^2-3x)dx=-\frac{1}{4}x^3-1\frac{1}{2}x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,3] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2(-\frac{3}{4}-\dfrac{3}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{3}{4}\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{3}{4}\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{3}{4}\cdot (-x)^{2}-3\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{3}{4}x^2-3x = 0 \\ x(-\frac{3}{4}x-3)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-\frac{3}{4}x-3=0\\ -\frac{3}{4} x-3 =0 \qquad /+3 \\ -\frac{3}{4} x= 3 \qquad /:\left(-\frac{3}{4}\right) \\ x=\displaystyle\frac{3}{-\frac{3}{4}}\\ x=-4 \\ \underline{x_1=-4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-4&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-4;0[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-4[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-1\frac{1}{2}x-3 = 0 \\ \\ -1\frac{1}{2} x-3 =0 \qquad /+3 \\ -1\frac{1}{2} x= 3 \qquad /:\left(-1\frac{1}{2}\right) \\ x=\displaystyle\frac{3}{-1\frac{1}{2}}\\ x=-2 \\ \underline{x_3=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2)=-1\frac{1}{2} \\ f''(-2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-2/3)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-4}^{0}\left(-\frac{3}{4}x^2-3x\right)dx=\left[-\frac{1}{4}x^3-1\frac{1}{2}x^2\right]_{-4}^{0} \\ =\left(-\frac{1}{4}\cdot 0^{3}-1\frac{1}{2}\cdot 0^{2}\right)-\left(-\frac{1}{4}\cdot (-4)^{3}-1\frac{1}{2}\cdot (-4)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(-8\right)=8 \\ \\ $