Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 44
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{1}{2}x^3-3x^2+5x \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{2}x^3-3x^2+5x=\frac{1}{2}(x^2-6x+10)x\\ f'\left(x\right)= 1\frac{1}{2}x^2-6x+5=1\frac{1}{2}(x-1,18)(x-2,82)\\ f''\left(x\right)= 3x-6=3(x-2)\\ f'''\left(x\right)= 3 \\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{2}x^3-3x^2+5x)dx= \frac{1}{8}x^4-1x^3+2\frac{1}{2}x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( \frac{1}{2}-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{2}\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{2}\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{2}\cdot (-x)^{3}-3\cdot (-x)^{2}+5\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{2}x^3-3x^2+5x = 0 \\ x( \frac{1}{2}x^2-3x+5)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad \frac{1}{2}x^2-3x+5=0\\ \frac{1}{2}x^{2}-3x+5 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+3 \pm\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5}}{2\cdot\frac{1}{2}}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+3 \pm\sqrt{-1}}{1}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \underline{x_1=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 1\frac{1}{2}x^2-6x+5 = 0 \\ \\ \\ 1\frac{1}{2}x^{2}-6x+5 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+6 \pm\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\cdot 1\frac{1}{2} \cdot 5}}{2\cdot1\frac{1}{2}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+6 \pm\sqrt{6}}{3} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{6 \pm2,45}{3} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{6 +2,45}{3} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{6 -2,45}{3} \\ x_{1}=2,82 \qquad x_{2}=1,18 \\ \underline{x_2=1,18; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=2,82; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(1,18)=-2,45 \\ f''(1,18)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1,18/2,54)} \\ f''(2,82)=2,45>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2,82/1,46)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &1,18&< x <&2,82&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1,18[\quad \cup \quad]2,82;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1,18;2,82[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 3x-6 = 0 \\ \\ 3 x-6 =0 \qquad /+6 \\ 3 x= 6 \qquad /:3 \\ x=\displaystyle\frac{6}{3}\\ x=2 \\ \underline{x_4=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(2)=2\\ f'''(2) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (2/2)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &2&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;2[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\\text{keine Fläche} \\ \\ $