Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 93
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-1x^4+3x^2+2x \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-1x^4+3x^2+2x=-1(x+1)^2x(x-2)\\ f'\left(x\right)=-4x^3+6x+2=-4(x+1)(x+0,366)(x-1,37)\\ f''\left(x\right)=-12x^2+6=-12(x+0,707)(x-0,707)\\ f'''\left(x\right)=-24x \\ F(x)=\int_{}^{}(-1x^4+3x^2+2x)dx=-\frac{1}{5}x^5+x^3+x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,4,85] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4(-1+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-1\cdot \infty^4]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-1\cdot (-\infty)^4]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-1\cdot (-x)^{4}+3\cdot (-x)^{2}+2\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-1x^4+3x^2+2x = 0 \\ x(-1x^3+3x+2)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-1x^3+3x+2=0\\-1x^3+3x+2=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-1\\ \,\small \begin{matrix} (-1x^3&&+3x&+2&):( x +1 )=-1x^2 +x +2 \\ \,-(-1x^3&-1x^2) \\ \hline & x^2&+3x&+2&\\ &-( x^2&+x) \\ \hline && 2x&+2&\\ &&-( 2x&+2) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -1x^{2}+1x+2 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-1 \pm\sqrt{1^{2}-4\cdot \left(-1\right) \cdot 2}}{2\cdot\left(-1\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-1 \pm\sqrt{9}}{-2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-1 \pm3}{-2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-1 +3}{-2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-1 -3}{-2} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=2 \\ \underline{x_1=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&0&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&-&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;2[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-1;0[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-4x^3+6x+2 = 0 \\ \\-4x^3+6x+2=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-1\\ \,\small \begin{matrix} (-4x^3&&+6x&+2&):( x +1 )=-4x^2 +4x +2 \\ \,-(-4x^3&-4x^2) \\ \hline & 4x^2&+6x&+2&\\ &-( 4x^2&+4x) \\ \hline && 2x&+2&\\ &&-( 2x&+2) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -4x^{2}+4x+2 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4\cdot \left(-4\right) \cdot 2}}{2\cdot\left(-4\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{48}}{-8} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm6,93}{-8} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-4 +6,93}{-8} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-4 -6,93}{-8} \\ x_{1}=-0,366 \qquad x_{2}=1,37 \\ \underline{x_4=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=-0,366; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=1,37; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1)=-6 \\ f''(-1)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-1/0)} \\ f''(-0,366)=4,39>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-0,366/-0,348)} \\ f''(1,37)=-16,4 \\ f''(1,37)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1,37/4,85)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&-0,366&< x <&1,37&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-0,366;1,37[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;-0,366[\quad \cup \quad]1,37;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-12x^2+6 = 0 \\ \\ -12x^2+6 =0 \qquad /-6 \\ -12x^2= -6 \qquad /:\left(-12\right) \\ x^2=\displaystyle\frac{-6}{-12} \\ x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}} \\ x_1=0,707 \qquad x_2=-0,707 \\ \underline{x_7=-0,707; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=0,707; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-0,707)=-0,164\\ f'''(-0,707) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-0,707/-0,164)}\\ f'''(0,707)=2,66\\ f'''(0,707) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0,707/2,66)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,707&< x <&0,707&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,707;0,707[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,707[\quad \cup \quad]0,707;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{0}\left(-1x^4+3x^2+2x\right)dx=\left[-\frac{1}{5}x^5+x^3+x^2\right]_{-1}^{0} \\ =\left(-\frac{1}{5}\cdot 0^{5}+1\cdot 0^{3}+1\cdot 0^{2}\right)-\left(-\frac{1}{5}\cdot (-1)^{5}+1\cdot (-1)^{3}+1\cdot (-1)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(\frac{1}{5}\right)=-\frac{1}{5} \\ A=\int_{0}^{2}\left(-1x^4+3x^2+2x\right)dx=\left[-\frac{1}{5}x^5+x^3+x^2\right]_{0}^{2} \\ =\left(-\frac{1}{5}\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}\right)-\left(-\frac{1}{5}\cdot 0^{5}+1\cdot 0^{3}+1\cdot 0^{2}\right) \\ =\left(5\frac{3}{5}\right)-\left(0\right)=5\frac{3}{5} \\ \\ $