Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 79
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^4-4x^3+2x^2+4 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^4-4x^3+2x^2+4=(x^2+0,784x+0,81)(x-1,51)(x-3,28)\\ f'\left(x\right)= 4x^3-12x^2+4x=4x(x-0,382)(x-2,62)\\ f''\left(x\right)= 12x^2-24x+4=12(x-0,184)(x-1,82)\\ f'''\left(x\right)= 24x-24 \\ F(x)=\int_{}^{}( x^4-4x^3+2x^2+4)dx= \frac{1}{5}x^5-1x^4+\frac{2}{3}x^3+4x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-7,09),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4( 1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{4}{x^4}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^4]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^4]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{4}-4\cdot (-x)^{3}+2\cdot (-x)^{2}+4 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^4-4x^3+2x^2+4 = 0 \\ \\ x^4-4x^3+2x^2+4\\ Numerische Suche: \\ \\ \underline{x_1=1,51; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=3,28; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &1,51&< x <&3,28&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1,51[\quad \cup \quad]3,28;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1,51;3,28[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 4x^3-12x^2+4x = 0 \\ x( 4x^2-12x+4)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 4x^2-12x+4=0\\ \\ 4x^{2}-12x+4 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+12 \pm\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\cdot 4 \cdot 4}}{2\cdot4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+12 \pm\sqrt{80}}{8} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{12 \pm8,94}{8} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{12 +8,94}{8} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{12 -8,94}{8} \\ x_{1}=2,62 \qquad x_{2}=0,382 \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=0,382; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=2,62; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=4>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/4)} \\ f''(0,382)=-3,42 \\ f''(0,382)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0,382/4,09)} \\ f''(2,62)=23,4>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2,62/-7,09)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&0,382&< x <&2,62&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;0,382[\quad \cup \quad]2,62;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0,382;2,62[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 12x^2-24x+4 = 0 \\ \\ \\ 12x^{2}-24x+4 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+24 \pm\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\cdot 12 \cdot 4}}{2\cdot12} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+24 \pm\sqrt{384}}{24} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{24 \pm19,6}{24} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{24 +19,6}{24} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{24 -19,6}{24} \\ x_{1}=1,82 \qquad x_{2}=0,184 \\ \underline{x_6=0,184; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=1,82; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(0,184)=4,04\\ f'''(0,184) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0,184/4,04)}\\ f'''(1,82)=-2,49\\ f'''(1,82) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1,82/-2,49)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0,184&< x <&1,82&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0,184[\quad \cup \quad]1,82;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0,184;1,82[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{1,51}^{3,28}\left( x^4-4x^3+2x^2+4\right)dx=\left[ \frac{1}{5}x^5-1x^4+\frac{2}{3}x^3+4x\right]_{1,51}^{3,28} \\ =\left(\frac{1}{5}\cdot 3,28^{5}-1\cdot 3,28^{4}+\frac{2}{3}\cdot 3,28^{3}+4\cdot 3,28\right)-\left(\frac{1}{5}\cdot 1,51^{5}-1\cdot 1,51^{4}+\frac{2}{3}\cdot 1,51^{3}+4\cdot 1,51\right) \\ =\left(-3,17\right)-\left(4,71\right)=-7,88 \\ \\ $