Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 62
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-2x^3+12x^2-18x \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-2x^3+12x^2-18x=-2x(x-3)^2\\ f'\left(x\right)=-6x^2+24x-18=-6(x-1)(x-3)\\ f''\left(x\right)=-12x+24=-12(x-2)\\ f'''\left(x\right)=-12 \\ F(x)=\int_{}^{}(-2x^3+12x^2-18x)dx=-\frac{1}{2}x^4+4x^3-9x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3(-2+\dfrac{12}{x}-\dfrac{18}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-2\cdot \infty^3]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-2\cdot (-\infty)^3]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-2\cdot (-x)^{3}+12\cdot (-x)^{2}-18\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-2x^3+12x^2-18x = 0 \\ x(-2x^2+12x-18)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-2x^2+12x-18=0\\ \\ -2x^{2}+12x-18 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-12 \pm\sqrt{12^{2}-4\cdot \left(-2\right) \cdot \left(-18\right)}}{2\cdot\left(-2\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-12 \pm\sqrt{0}}{-4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-12 \pm0}{-4} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-12 +0}{-4} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-12 -0}{-4} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=3 \\ \underline{x_1=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;3[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-6x^2+24x-18 = 0 \\ \\ \\ -6x^{2}+24x-18 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-24 \pm\sqrt{24^{2}-4\cdot \left(-6\right) \cdot \left(-18\right)}}{2\cdot\left(-6\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-24 \pm\sqrt{144}}{-12} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-24 \pm12}{-12} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-24 +12}{-12} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-24 -12}{-12} \\ x_{1}=1 \qquad x_{2}=3 \\ \underline{x_3=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(1)=12>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (1/-8)} \\ f''(3)=-12 \\ f''(3)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (3/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &1&< x <&3&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;3[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-12x+24 = 0 \\ \\ -12 x+24 =0 \qquad /-24 \\ -12 x= -24 \qquad /:\left(-12\right) \\ x=\displaystyle\frac{-24}{-12}\\ x=2 \\ \underline{x_5=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(2)=-4\\ f'''(2) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (2/-4)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &2&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;2[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{3}\left(-2x^3+12x^2-18x\right)dx=\left[-\frac{1}{2}x^4+4x^3-9x^2\right]_{0}^{3} \\ =\left(-\frac{1}{2}\cdot 3^{4}+4\cdot 3^{3}-9\cdot 3^{2}\right)-\left(-\frac{1}{2}\cdot 0^{4}+4\cdot 0^{3}-9\cdot 0^{2}\right) \\ =\left(-13\frac{1}{2}\right)-\left(0\right)=-13\frac{1}{2} \\ \\ $