Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 52
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{1}{2}x^3-2x^2-\frac{1}{2}x+2 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{2}x^3-2x^2-\frac{1}{2}x+2=\frac{1}{2}(x+1)(x-1)(x-4)\\ f'\left(x\right)= 1\frac{1}{2}x^2-4x-\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}(x+0,12)(x-2,79)\\ f''\left(x\right)= 3x-4=3(x-1\frac{1}{3})\\ f'''\left(x\right)= 3 \\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{2}x^3-2x^2-\frac{1}{2}x+2)dx= \frac{1}{8}x^4-\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{4}x^2+2x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( \frac{1}{2}-\dfrac{2}{x}-\dfrac{\frac{1}{2}}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{2}\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{2}\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{2}\cdot (-x)^{3}-2\cdot (-x)^{2}-\frac{1}{2}\cdot (-x)+2 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{2}x^3-2x^2-\frac{1}{2}x+2 = 0 \\ \\ \frac{1}{2}x^3-2x^2-\frac{1}{2}x+2=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}1\\ \,\small \begin{matrix} ( \frac{1}{2}x^3&-2x^2&-\frac{1}{2}x&+2&):( x -1 )= \frac{1}{2}x^2 -1\frac{1}{2}x -2 \\ \,-( \frac{1}{2}x^3&-\frac{1}{2}x^2) \\ \hline &-1\frac{1}{2}x^2&-\frac{1}{2}x&+2&\\ &-(-1\frac{1}{2}x^2&+1\frac{1}{2}x) \\ \hline &&-2x&+2&\\ &&-(-2x&+2) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ \frac{1}{2}x^{2}-1\frac{1}{2}x-2 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1\frac{1}{2} \pm\sqrt{\left(-1\frac{1}{2}\right)^{2}-4\cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-2\right)}}{2\cdot\frac{1}{2}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1\frac{1}{2} \pm\sqrt{6\frac{1}{4}}}{1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{1\frac{1}{2} \pm2\frac{1}{2}}{1} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{1\frac{1}{2} +2\frac{1}{2}}{1} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{1\frac{1}{2} -2\frac{1}{2}}{1} \\ x_{1}=4 \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&1&< x <&4&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;1[\quad \cup \quad]4;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]1;4[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 1\frac{1}{2}x^2-4x-\frac{1}{2} = 0 \\ \\ \\ 1\frac{1}{2}x^{2}-4x-\frac{1}{2} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+4 \pm\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\cdot 1\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}}{2\cdot1\frac{1}{2}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+4 \pm\sqrt{19}}{3} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{4 \pm4,36}{3} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{4 +4,36}{3} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{4 -4,36}{3} \\ x_{1}=2,79 \qquad x_{2}=-0,12 \\ \underline{x_4=-0,12; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=2,79; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-0,12)=-4,36 \\ f''(-0,12)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-0,12/2,03)} \\ f''(2,79)=4,36>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2,79/-4,1)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,12&< x <&2,79&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,12[\quad \cup \quad]2,79;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,12;2,79[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 3x-4 = 0 \\ \\ 3 x-4 =0 \qquad /+4 \\ 3 x= 4 \qquad /:3 \\ x=\displaystyle\frac{4}{3}\\ x=1\frac{1}{3} \\ \underline{x_6=1\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(1\frac{1}{3})=-1\frac{1}{27}\\ f'''(1\frac{1}{3}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1\frac{1}{3}/-1\frac{1}{27})}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &1\frac{1}{3}&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1\frac{1}{3};\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1\frac{1}{3}[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{1}\left( \frac{1}{2}x^3-2x^2-\frac{1}{2}x+2\right)dx=\left[ \frac{1}{8}x^4-\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{4}x^2+2x\right]_{-1}^{1} \\ =\left(\frac{1}{8}\cdot 1^{4}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3}-\frac{1}{4}\cdot 1^{2}+2\cdot 1\right)-\left(\frac{1}{8}\cdot (-1)^{4}-\frac{2}{3}\cdot (-1)^{3}-\frac{1}{4}\cdot (-1)^{2}+2\cdot (-1)\right) \\ =\left(1\frac{5}{24}\right)-\left(-1\frac{11}{24}\right)=2\frac{2}{3} \\ A=\int_{1}^{4}\left( \frac{1}{2}x^3-2x^2-\frac{1}{2}x+2\right)dx=\left[ \frac{1}{8}x^4-\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{4}x^2+2x\right]_{1}^{4} \\ =\left(\frac{1}{8}\cdot 4^{4}-\frac{2}{3}\cdot 4^{3}-\frac{1}{4}\cdot 4^{2}+2\cdot 4\right)-\left(\frac{1}{8}\cdot 1^{4}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3}-\frac{1}{4}\cdot 1^{2}+2\cdot 1\right) \\ =\left(-6\frac{2}{3}\right)-\left(1\frac{5}{24}\right)=-7\frac{7}{8} \\ \\ $