Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 53
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{1}{2}x^3+x^2-1x \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{2}x^3+x^2-1x=\frac{1}{2}(x+2,73)x(x-0,732)\\ f'\left(x\right)= 1\frac{1}{2}x^2+2x-1=1\frac{1}{2}(x+1,72)(x-0,387)\\ f''\left(x\right)= 3x+2=3(x+\frac{2}{3})\\ f'''\left(x\right)= 3 \\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{2}x^3+x^2-1x)dx= \frac{1}{8}x^4+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( \frac{1}{2}+x-\dfrac{1}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{2}\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{2}\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{2}\cdot (-x)^{3}+1\cdot (-x)^{2}-1\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{2}x^3+x^2-1x = 0 \\ x( \frac{1}{2}x^2+x-1)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad \frac{1}{2}x^2+x-1=0\\ \\ \frac{1}{2}x^{2}+1x-1 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-1 \pm\sqrt{1^{2}-4\cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-1\right)}}{2\cdot\frac{1}{2}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-1 \pm\sqrt{3}}{1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-1 \pm1,73}{1} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-1 +1,73}{1} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-1 -1,73}{1} \\ x_{1}=0,732 \qquad x_{2}=-2,73 \\ \underline{x_1=-2,73; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=0,732; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2,73&< x <&0&< x <&0,732&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2,73;0[\quad \cup \quad]0,732;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2,73[\quad \cup \quad]0;0,732[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 1\frac{1}{2}x^2+2x-1 = 0 \\ \\ \\ 1\frac{1}{2}x^{2}+2x-1 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-2 \pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 1\frac{1}{2} \cdot \left(-1\right)}}{2\cdot1\frac{1}{2}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm\sqrt{10}}{3} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm3,16}{3} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-2 +3,16}{3} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-2 -3,16}{3} \\ x_{1}=0,387 \qquad x_{2}=-1,72 \\ \underline{x_4=-1,72; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=0,387; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1,72)=-3,16 \\ f''(-1,72)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-1,72/2,13)} \\ f''(0,387)=3,16>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0,387/-0,208)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,72&< x <&0,387&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,72[\quad \cup \quad]0,387;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,72;0,387[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 3x+2 = 0 \\ \\ 3 x+2 =0 \qquad /-2 \\ 3 x= -2 \qquad /:3 \\ x=\displaystyle\frac{-2}{3}\\ x=-\frac{2}{3} \\ \underline{x_6=-\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-\frac{2}{3})=\frac{26}{27}\\ f'''(-\frac{2}{3}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-\frac{2}{3}/\frac{26}{27})}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{2}{3}&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{2}{3};\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{2}{3}[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2,73}^{0}\left( \frac{1}{2}x^3+x^2-1x\right)dx=\left[ \frac{1}{8}x^4+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2\right]_{-2,73}^{0} \\ =\left(\frac{1}{8}\cdot 0^{4}+\frac{1}{3}\cdot 0^{3}-\frac{1}{2}\cdot 0^{2}\right)-\left(\frac{1}{8}\cdot (-2,73)^{4}+\frac{1}{3}\cdot (-2,73)^{3}-\frac{1}{2}\cdot (-2,73)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(-3,57\right)=3,57 \\ A=\int_{0}^{0,732}\left( \frac{1}{2}x^3+x^2-1x\right)dx=\left[ \frac{1}{8}x^4+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{0,732} \\ =\left(\frac{1}{8}\cdot 0,732^{4}+\frac{1}{3}\cdot 0,732^{3}-\frac{1}{2}\cdot 0,732^{2}\right)-\left(\frac{1}{8}\cdot 0^{4}+\frac{1}{3}\cdot 0^{3}-\frac{1}{2}\cdot 0^{2}\right) \\ =\left(-0,101\right)-\left(0\right)=-0,101 \\ \\ $