Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 78
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^4-\frac{1}{2}x^3+4x^2+6x \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^4-\frac{1}{2}x^3+4x^2+6x=-\frac{1}{2}(x+2)^2x(x-3)\\ f'\left(x\right)=-2x^3-1\frac{1}{2}x^2+8x+6=-2(x+2)(x+\frac{3}{4})(x-2)\\ f''\left(x\right)=-6x^2-3x+8=-6(x+1,43)(x-0,931)\\ f'''\left(x\right)=-12x-3 \\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{1}{2}x^4-\frac{1}{2}x^3+4x^2+6x)dx=-\frac{1}{10}x^5-\frac{1}{8}x^4+1\frac{1}{3}x^3+3x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,16] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4(-\frac{1}{2}-\dfrac{\frac{1}{2}}{x}+\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{6}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{2}\cdot \infty^4]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{2}\cdot (-\infty)^4]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{1}{2}\cdot (-x)^{4}-\frac{1}{2}\cdot (-x)^{3}+4\cdot (-x)^{2}+6\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{1}{2}x^4-\frac{1}{2}x^3+4x^2+6x = 0 \\ x(-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+4x+6)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+4x+6=0\\-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+4x+6=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-2\\ \,\small \begin{matrix} (-\frac{1}{2}x^3&-\frac{1}{2}x^2&+4x&+6&):( x +2 )=-\frac{1}{2}x^2 +\frac{1}{2}x +3 \\ \,-(-\frac{1}{2}x^3&-1x^2) \\ \hline & \frac{1}{2}x^2&+4x&+6&\\ &-( \frac{1}{2}x^2&+x) \\ \hline && 3x&+6&\\ &&-( 3x&+6) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x+3 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-\frac{1}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 3}}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-\frac{1}{2} \pm\sqrt{6\frac{1}{4}}}{-1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-\frac{1}{2} \pm2\frac{1}{2}}{-1} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-\frac{1}{2} +2\frac{1}{2}}{-1} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-\frac{1}{2} -2\frac{1}{2}}{-1} \\ x_{1}=-2 \qquad x_{2}=3 \\ \underline{x_1=-2; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&0&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&-&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;3[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]-2;0[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-2x^3-1\frac{1}{2}x^2+8x+6 = 0 \\ \\-2x^3-1\frac{1}{2}x^2+8x+6=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}2\\ \,\small \begin{matrix} (-2x^3&-1\frac{1}{2}x^2&+8x&+6&):( x -2 )=-2x^2 -5\frac{1}{2}x -3 \\ \,-(-2x^3&+4x^2) \\ \hline &-5\frac{1}{2}x^2&+8x&+6&\\ &-(-5\frac{1}{2}x^2&+11x) \\ \hline &&-3x&+6&\\ &&-(-3x&+6) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -2x^{2}-5\frac{1}{2}x-3 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+5\frac{1}{2} \pm\sqrt{\left(-5\frac{1}{2}\right)^{2}-4\cdot \left(-2\right) \cdot \left(-3\right)}}{2\cdot\left(-2\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+5\frac{1}{2} \pm\sqrt{6\frac{1}{4}}}{-4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{5\frac{1}{2} \pm2\frac{1}{2}}{-4} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{5\frac{1}{2} +2\frac{1}{2}}{-4} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{5\frac{1}{2} -2\frac{1}{2}}{-4} \\ x_{1}=-2 \qquad x_{2}=-\frac{3}{4} \\ \underline{x_4=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=-\frac{3}{4}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2)=-10 \\ f''(-2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-2/0)} \\ f''(-\frac{3}{4})=6\frac{7}{8}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-\frac{3}{4}/-2,2)} \\ f''(2)=-22 \\ f''(2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (2/16)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&-\frac{3}{4}&< x <&2&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]-\frac{3}{4};2[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;-\frac{3}{4}[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-6x^2-3x+8 = 0 \\ \\ \\ -6x^{2}-3x+8 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+3 \pm\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\cdot \left(-6\right) \cdot 8}}{2\cdot\left(-6\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+3 \pm\sqrt{201}}{-12} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{3 \pm14,2}{-12} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{3 +14,2}{-12} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{3 -14,2}{-12} \\ x_{1}=-1,43 \qquad x_{2}=0,931 \\ \underline{x_7=-1,43; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=0,931; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-1,43)=-1,03\\ f'''(-1,43) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-1,43/-1,03)}\\ f'''(0,931)=8,28\\ f'''(0,931) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0,931/8,28)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,43&< x <&0,931&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,43;0,931[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,43[\quad \cup \quad]0,931;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2}^{0}\left(-\frac{1}{2}x^4-\frac{1}{2}x^3+4x^2+6x\right)dx=\left[-\frac{1}{10}x^5-\frac{1}{8}x^4+1\frac{1}{3}x^3+3x^2\right]_{-2}^{0} \\ =\left(-\frac{1}{10}\cdot 0^{5}-\frac{1}{8}\cdot 0^{4}+1\frac{1}{3}\cdot 0^{3}+3\cdot 0^{2}\right)-\left(-\frac{1}{10}\cdot (-2)^{5}-\frac{1}{8}\cdot (-2)^{4}+1\frac{1}{3}\cdot (-2)^{3}+3\cdot (-2)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(2\frac{8}{15}\right)=-2\frac{8}{15} \\ A=\int_{0}^{3}\left(-\frac{1}{2}x^4-\frac{1}{2}x^3+4x^2+6x\right)dx=\left[-\frac{1}{10}x^5-\frac{1}{8}x^4+1\frac{1}{3}x^3+3x^2\right]_{0}^{3} \\ =\left(-\frac{1}{10}\cdot 3^{5}-\frac{1}{8}\cdot 3^{4}+1\frac{1}{3}\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{2}\right)-\left(-\frac{1}{10}\cdot 0^{5}-\frac{1}{8}\cdot 0^{4}+1\frac{1}{3}\cdot 0^{3}+3\cdot 0^{2}\right) \\ =\left(28\frac{23}{40}\right)-\left(0\right)=28\frac{23}{40} \\ \\ $