Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 91
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{1}{6}x^4+2x^2 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{1}{6}x^4+2x^2=-\frac{1}{6}(x+3,46)x^2(x-3,46)\\ f'\left(x\right)=-\frac{2}{3}x^3+4x=-\frac{2}{3}(x+2,45)x(x-2,45)\\ f''\left(x\right)=-2x^2+4=-2(x+1,41)(x-1,41)\\ f'''\left(x\right)=-4x \\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{1}{6}x^4+2x^2)dx=-\frac{1}{30}x^5+\frac{2}{3}x^3+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,6] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4(-\frac{1}{6}+\dfrac{2}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{6}\cdot \infty^4]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{6}\cdot (-\infty)^4]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{1}{6}\cdot (-x)^{4}+2\cdot (-x)^{2} \\ f\left(-x\right)=-\frac{1}{6}\cdot x^{4}+2\cdot x^{2} \\ f\left(-x\right)= f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zur y-Achse:} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{1}{6}x^4+2x^2 = 0 \\ x^2(-\frac{1}{6}x^2+2)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-\frac{1}{6}x^2+2=0\\ -\frac{1}{6}x^2+2 =0 \qquad /-2 \\ -\frac{1}{6}x^2= -2 \qquad /:\left(-\frac{1}{6}\right) \\ x^2=\displaystyle\frac{-2}{-\frac{1}{6}} \\ x=\pm\sqrt{12} \\ x_1=3,46 \qquad x_2=-3,46 \\ \underline{x_1=-3,46; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=3,46; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3,46&< x <&0&< x <&3,46&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3,46;0[\quad \cup \quad]0;3,46[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3,46[\quad \cup \quad]3,46;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-\frac{2}{3}x^3+4x = 0 \\ x(-\frac{2}{3}x^2+4)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-\frac{2}{3}x^2+4=0\\ -\frac{2}{3}x^2+4 =0 \qquad /-4 \\ -\frac{2}{3}x^2= -4 \qquad /:\left(-\frac{2}{3}\right) \\ x^2=\displaystyle\frac{-4}{-\frac{2}{3}} \\ x=\pm\sqrt{6} \\ x_1=2,45 \qquad x_2=-2,45 \\ \underline{x_4=-2,45; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=2,45; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2,45)=-8 \\ f''(-2,45)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-2,45/6)} \\ f''(0)=4>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/0)} \\ f''(2,45)=-8 \\ f''(2,45)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (2,45/6)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2,45&< x <&0&< x <&2,45&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2,45[\quad \cup \quad]0;2,45[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2,45;0[\quad \cup \quad]2,45;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-2x^2+4 = 0 \\ \\ -2x^2+4 =0 \qquad /-4 \\ -2x^2= -4 \qquad /:\left(-2\right) \\ x^2=\displaystyle\frac{-4}{-2} \\ x=\pm\sqrt{2} \\ x_1=1,41 \qquad x_2=-1,41 \\ \underline{x_7=-1,41; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=1,41; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-1,41)=3\frac{1}{3}\\ f'''(-1,41) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-1,41/3\frac{1}{3})}\\ f'''(1,41)=3\frac{1}{3}\\ f'''(1,41) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1,41/3\frac{1}{3})}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,41&< x <&1,41&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,41;1,41[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,41[\quad \cup \quad]1,41;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-3,46}^{0}\left(-\frac{1}{6}x^4+2x^2\right)dx=\left[-\frac{1}{30}x^5+\frac{2}{3}x^3\right]_{-3,46}^{0} \\ =\left(-\frac{1}{30}\cdot 0^{5}+\frac{2}{3}\cdot 0^{3}\right)-\left(-\frac{1}{30}\cdot (-3,46)^{5}+\frac{2}{3}\cdot (-3,46)^{3}\right) \\ =\left(0\right)-\left(-11,1\right)=11,1 \\ A=\int_{0}^{3,46}\left(-\frac{1}{6}x^4+2x^2\right)dx=\left[-\frac{1}{30}x^5+\frac{2}{3}x^3\right]_{0}^{3,46} \\ =\left(-\frac{1}{30}\cdot 3,46^{5}+\frac{2}{3}\cdot 3,46^{3}\right)-\left(-\frac{1}{30}\cdot 0^{5}+\frac{2}{3}\cdot 0^{3}\right) \\ =\left(11,1\right)-\left(0\right)=11,1 \\ \\ $