Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 88
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^4-16 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^4-16=(x+2)(x-2)(x^2+4)\\ f'\left(x\right)= 4x^3\\ f''\left(x\right)= 12x^2\\ f'''\left(x\right)= 24x \\ F(x)=\int_{}^{}( x^4-16)dx= \frac{1}{5}x^5-16x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-16),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4( 1-\dfrac{16}{x^4}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^4]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^4]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{4}-16 \\ f\left(-x\right)=1\cdot x^{4}-16 \\ f\left(-x\right)= f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zur y-Achse:} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^4-16 = 0 \\ \\ 1x^4-16 =0 \qquad /+16 \\ 1x^4= 16 \qquad /:1 \\ x^4=\displaystyle\frac{16}{1} \\ x=\sqrt[4]{16} \\ x_1=2 \qquad x_2=-2 \\ \text{Polynomdivision:}(x+2)((x-2) \\ \small \begin{matrix} ( x^4&&&&-16&):( x^2 -4 )= x^2 +4 \\ \,-( x^4&&-4x^2) \\ \hline & 4x^2&&-16&\\ &&-( 4x^2&&-16) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ 1x^2+4 =0 \qquad /-4 \\ 1x^2= -4 \qquad /:1 \\ x^2=\displaystyle\frac{-4}{1}\\ \text{keine Lösung} \\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;2[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 4x^3 = 0 \\ x^3=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_3=0; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=-16 \\ f''(0)=0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Extremwert:} (0/-16}) \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 12x^2 = 0 \\ x^2=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_4=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f''(x)&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2}^{2}\left( x^4-16\right)dx=\left[ \frac{1}{5}x^5-16x\right]_{-2}^{2} \\ =\left(\frac{1}{5}\cdot 2^{5}-16\cdot 2\right)-\left(\frac{1}{5}\cdot (-2)^{5}-16\cdot (-2)\right) \\ =\left(-25\frac{3}{5}\right)-\left(25\frac{3}{5}\right)=-51\frac{1}{5} \\ \\ $