Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 05
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{1}{4}x^2-2 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{4}x^2-2=\frac{1}{4}(x+2,83)(x-2,83)\\ f'\left(x\right)= \frac{1}{2}x\\ f''\left(x\right)= \frac{1}{2}\\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{4}x^2-2)dx= \frac{1}{12}x^3-2x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-2),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( \frac{1}{4}-\dfrac{2}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{4}\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{4}\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{4}\cdot (-x)^{2}-2 \\ f\left(-x\right)=\frac{1}{4}\cdot x^{2}-2 \\ f\left(-x\right)= f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zur y-Achse:} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{4}x^2-2 = 0 \\ \\ \frac{1}{4}x^2-2 =0 \qquad /+2 \\ \frac{1}{4}x^2= 2 \qquad /:\frac{1}{4} \\ x^2=\displaystyle\frac{2}{\frac{1}{4}} \\ x=\pm\sqrt{8} \\ x_1=2,83 \qquad x_2=-2,83 \\ \underline{x_1=-2,83; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2,83; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2,83&< x <&2,83&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2,83[\quad \cup \quad]2,83;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2,83;2,83[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= \frac{1}{2}x = 0 \\ x=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=\frac{1}{2}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/-2)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2,83}^{2,83}\left( \frac{1}{4}x^2-2\right)dx=\left[ \frac{1}{12}x^3-2x\right]_{-2,83}^{2,83} \\ =\left(\frac{1}{12}\cdot 2,83^{3}-2\cdot 2,83\right)-\left(\frac{1}{12}\cdot (-2,83)^{3}-2\cdot (-2,83)\right) \\ =\left(-3,77\right)-\left(3,77\right)=-7,54 \\ \\ $