Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 61
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2-1\frac{2}{3}x+4 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2-1\frac{2}{3}x+4=\frac{1}{6}(x+3)(x-2)(x-4)\\ f'\left(x\right)= \frac{1}{2}x^2-1x-1\frac{2}{3}=\frac{1}{2}(x+1,08)(x-3,08)\\ f''\left(x\right)= x-1=(x-1)\\ f'''\left(x\right)= 1 \\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2-1\frac{2}{3}x+4)dx= \frac{1}{24}x^4-\frac{1}{6}x^3-\frac{5}{6}x^2+4x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( \frac{1}{6}-\dfrac{\frac{1}{2}}{x}-\dfrac{1\frac{2}{3}}{x^2}+\dfrac{4}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{6}\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{6}\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{6}\cdot (-x)^{3}-\frac{1}{2}\cdot (-x)^{2}-1\frac{2}{3}\cdot (-x)+4 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2-1\frac{2}{3}x+4 = 0 \\ \\ \frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2-1\frac{2}{3}x+4=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_1=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x <&2&< x <&4&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3;2[\quad \cup \quad]4;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]2;4[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= \frac{1}{2}x^2-1x-1\frac{2}{3} = 0 \\ \\ \\ \frac{1}{2}x^{2}-1x-1\frac{2}{3} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1 \pm\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-1\frac{2}{3}\right)}}{2\cdot\frac{1}{2}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1 \pm\sqrt{4\frac{1}{3}}}{1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{1 \pm2,08}{1} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{1 +2,08}{1} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{1 -2,08}{1} \\ x_{1}=3,08 \qquad x_{2}=-1,08 \\ \underline{x_4=-1,08; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=3,08; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1,08)=-2,08 \\ f''(-1,08)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-1,08/5,01)} \\ f''(3,08)=2,08>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (3,08/-1,01)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,08&< x <&3,08&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,08[\quad \cup \quad]3,08;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,08;3,08[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= x-1 = 0 \\ \\ x-1 =0 \qquad /+1 \\ x=1 \\ \underline{x_6=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(1)=2\\ f'''(1) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1/2)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &1&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-3}^{2}\left( \frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2-1\frac{2}{3}x+4\right)dx=\left[ \frac{1}{24}x^4-\frac{1}{6}x^3-\frac{5}{6}x^2+4x\right]_{-3}^{2} \\ =\left(\frac{1}{24}\cdot 2^{4}-\frac{1}{6}\cdot 2^{3}-\frac{5}{6}\cdot 2^{2}+4\cdot 2\right)-\left(\frac{1}{24}\cdot (-3)^{4}-\frac{1}{6}\cdot (-3)^{3}-\frac{5}{6}\cdot (-3)^{2}+4\cdot (-3)\right) \\ =\left(4\right)-\left(-11\frac{5}{8}\right)=15\frac{5}{8} \\ A=\int_{2}^{4}\left( \frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2-1\frac{2}{3}x+4\right)dx=\left[ \frac{1}{24}x^4-\frac{1}{6}x^3-\frac{5}{6}x^2+4x\right]_{2}^{4} \\ =\left(\frac{1}{24}\cdot 4^{4}-\frac{1}{6}\cdot 4^{3}-\frac{5}{6}\cdot 4^{2}+4\cdot 4\right)-\left(\frac{1}{24}\cdot 2^{4}-\frac{1}{6}\cdot 2^{3}-\frac{5}{6}\cdot 2^{2}+4\cdot 2\right) \\ =\left(2\frac{2}{3}\right)-\left(4\right)=-1\frac{1}{3} \\ \\ $