Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 25
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{9}{25}x^2-2\frac{22}{25}x+3\frac{6}{25} \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{9}{25}x^2-2\frac{22}{25}x+3\frac{6}{25}=-\frac{9}{25}(x+9)(x-1)\\ f'\left(x\right)=-\frac{18}{25}x-2\frac{22}{25}\\ f''\left(x\right)=-\frac{18}{25}\\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{9}{25}x^2-2\frac{22}{25}x+3\frac{6}{25})dx=-\frac{3}{25}x^3-1\frac{11}{25}x^2+3\frac{6}{25}x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,9] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2(-\frac{9}{25}-\dfrac{2\frac{22}{25}}{x}+\dfrac{3\frac{6}{25}}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{9}{25}\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{9}{25}\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{9}{25}\cdot (-x)^{2}-2\frac{22}{25}\cdot (-x)+3\frac{6}{25} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{9}{25}x^2-2\frac{22}{25}x+3\frac{6}{25} = 0 \\ \\ \\ -\frac{9}{25}x^{2}-2\frac{22}{25}x+3\frac{6}{25} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+2\frac{22}{25} \pm\sqrt{\left(-2\frac{22}{25}\right)^{2}-4\cdot \left(-\frac{9}{25}\right) \cdot 3\frac{6}{25}}}{2\cdot\left(-\frac{9}{25}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+2\frac{22}{25} \pm\sqrt{12\frac{24}{25}}}{-\frac{18}{25}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{2\frac{22}{25} \pm3\frac{3}{5}}{-\frac{18}{25}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{2\frac{22}{25} +3\frac{3}{5}}{-\frac{18}{25}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{2\frac{22}{25} -3\frac{3}{5}}{-\frac{18}{25}} \\ x_{1}=-9 \qquad x_{2}=1 \\ \underline{x_1=-9; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-9&< x <&1&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-9;1[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-9[\quad \cup \quad]1;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-\frac{18}{25}x-2\frac{22}{25} = 0 \\ \\ -\frac{18}{25} x-2\frac{22}{25} =0 \qquad /+2\frac{22}{25} \\ -\frac{18}{25} x= 2\frac{22}{25} \qquad /:\left(-\frac{18}{25}\right) \\ x=\displaystyle\frac{2\frac{22}{25}}{-\frac{18}{25}}\\ x=-4 \\ \underline{x_3=-4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-4)=-\frac{18}{25} \\ f''(-4)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-4/9)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-4&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-4[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-4;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-9}^{1}\left(-\frac{9}{25}x^2-2\frac{22}{25}x+3\frac{6}{25}\right)dx=\left[-\frac{3}{25}x^3-1\frac{11}{25}x^2+3\frac{6}{25}x\right]_{-9}^{1} \\ =\left(-\frac{3}{25}\cdot 1^{3}-1\frac{11}{25}\cdot 1^{2}+3\frac{6}{25}\cdot 1\right)-\left(-\frac{3}{25}\cdot (-9)^{3}-1\frac{11}{25}\cdot (-9)^{2}+3\frac{6}{25}\cdot (-9)\right) \\ =\left(1\frac{17}{25}\right)-\left(-58\frac{8}{25}\right)=60 \\ \\ $