Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 76
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{1}{20}x^4-1x^2+3\frac{1}{5} \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{20}x^4-1x^2+3\frac{1}{5}=\frac{1}{20}(x+4)(x+2)(x-2)(x-4)\\ f'\left(x\right)= \frac{1}{5}x^3-2x=\frac{1}{5}(x+3,16)x(x-3,16)\\ f''\left(x\right)= \frac{3}{5}x^2-2=\frac{3}{5}(x+1,83)(x-1,83)\\ f'''\left(x\right)= 1\frac{1}{5}x \\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{20}x^4-1x^2+3\frac{1}{5})dx= \frac{1}{100}x^5-\frac{1}{3}x^3+3\frac{1}{5}x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-1\frac{4}{5}),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4( \frac{1}{20}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3\frac{1}{5}}{x^4}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{20}\cdot \infty^4]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{20}\cdot (-\infty)^4]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{20}\cdot (-x)^{4}-1\cdot (-x)^{2}+3\frac{1}{5} \\ f\left(-x\right)=\frac{1}{20}\cdot x^{4}-1\cdot x^{2}+3\frac{1}{5} \\ f\left(-x\right)= f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zur y-Achse:} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{20}x^4-1x^2+3\frac{1}{5} = 0 \\ \\ \\ u=x^{2} \qquad u^2=x^{4} \\ \frac{1}{20}u^{2}-1u+3\frac{1}{5} =0 \\ \\ u_{1/2}=\displaystyle\frac{+1 \pm\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\cdot \frac{1}{20} \cdot 3\frac{1}{5}}}{2\cdot\frac{1}{20}} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{+1 \pm\sqrt{\frac{9}{25}}}{\frac{1}{10}} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{1 \pm\frac{3}{5}}{\frac{1}{10}} \\ u_{1}=\displaystyle \frac{1 +\frac{3}{5}}{\frac{1}{10}} \qquad u_{2}=\displaystyle \frac{1 -\frac{3}{5}}{\frac{1}{10}} \\ u_{1}=16 \qquad u_{2}=4 \\ x^2= 16 \\ x=\pm\sqrt{16} \\ x_1=4 \qquad x_2=-4 \\ x^2= 4 \\ x=\pm\sqrt{4} \\ x_1=2 \qquad x_2=-2 \\ \underline{x_1=-4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-4&< x <&-2&< x <&2&< x <&4&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-4[\quad \cup \quad]-2;2[\quad \cup \quad]4;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-4;-2[\quad \cup \quad]2;4[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= \frac{1}{5}x^3-2x = 0 \\ x( \frac{1}{5}x^2-2)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad \frac{1}{5}x^2-2=0\\ \frac{1}{5}x^2-2 =0 \qquad /+2 \\ \frac{1}{5}x^2= 2 \qquad /:\frac{1}{5} \\ x^2=\displaystyle\frac{2}{\frac{1}{5}} \\ x=\pm\sqrt{10} \\ x_1=3,16 \qquad x_2=-3,16 \\ \underline{x_5=-3,16; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=3,16; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-3,16)=4>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-3,16/-1\frac{4}{5})} \\ f''(0)=-2 \\ f''(0)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0/3\frac{1}{5})} \\ f''(3,16)=4>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (3,16/-1\frac{4}{5})} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3,16&< x <&0&< x <&3,16&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3,16;0[\quad \cup \quad]3,16;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3,16[\quad \cup \quad]0;3,16[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= \frac{3}{5}x^2-2 = 0 \\ \\ \frac{3}{5}x^2-2 =0 \qquad /+2 \\ \frac{3}{5}x^2= 2 \qquad /:\frac{3}{5} \\ x^2=\displaystyle\frac{2}{\frac{3}{5}} \\ x=\pm\sqrt{3\frac{1}{3}} \\ x_1=1,83 \qquad x_2=-1,83 \\ \underline{x_8=-1,83; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=1,83; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-1,83)=\frac{19}{45}\\ f'''(-1,83) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-1,83/\frac{19}{45})}\\ f'''(1,83)=\frac{19}{45}\\ f'''(1,83) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1,83/\frac{19}{45})}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,83&< x <&1,83&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,83[\quad \cup \quad]1,83;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,83;1,83[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-4}^{-2}\left( \frac{1}{20}x^4-1x^2+3\frac{1}{5}\right)dx=\left[ \frac{1}{100}x^5-\frac{1}{3}x^3+3\frac{1}{5}x\right]_{-4}^{-2} \\ =\left(\frac{1}{100}\cdot (-2)^{5}-\frac{1}{3}\cdot (-2)^{3}+3\frac{1}{5}\cdot (-2)\right)-\left(\frac{1}{100}\cdot (-4)^{5}-\frac{1}{3}\cdot (-4)^{3}+3\frac{1}{5}\cdot (-4)\right) \\ =\left(-4\frac{4}{75}\right)-\left(-1\frac{53}{75}\right)=-2\frac{26}{75} \\ A=\int_{-2}^{2}\left( \frac{1}{20}x^4-1x^2+3\frac{1}{5}\right)dx=\left[ \frac{1}{100}x^5-\frac{1}{3}x^3+3\frac{1}{5}x\right]_{-2}^{2} \\ =\left(\frac{1}{100}\cdot 2^{5}-\frac{1}{3}\cdot 2^{3}+3\frac{1}{5}\cdot 2\right)-\left(\frac{1}{100}\cdot (-2)^{5}-\frac{1}{3}\cdot (-2)^{3}+3\frac{1}{5}\cdot (-2)\right) \\ =\left(4\frac{4}{75}\right)-\left(-4\frac{4}{75}\right)=8\frac{8}{75} \\ A=\int_{2}^{4}\left( \frac{1}{20}x^4-1x^2+3\frac{1}{5}\right)dx=\left[ \frac{1}{100}x^5-\frac{1}{3}x^3+3\frac{1}{5}x\right]_{2}^{4} \\ =\left(\frac{1}{100}\cdot 4^{5}-\frac{1}{3}\cdot 4^{3}+3\frac{1}{5}\cdot 4\right)-\left(\frac{1}{100}\cdot 2^{5}-\frac{1}{3}\cdot 2^{3}+3\frac{1}{5}\cdot 2\right) \\ =\left(1\frac{53}{75}\right)-\left(4\frac{4}{75}\right)=-2\frac{26}{75} \\ \\ $