Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 36
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{8}{27}x^2+2\frac{2}{3}x \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{8}{27}x^2+2\frac{2}{3}x=\frac{8}{27}(x+9)x\\ f'\left(x\right)= \frac{16}{27}x+2\frac{2}{3}\\ f''\left(x\right)= \frac{16}{27}\\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{8}{27}x^2+2\frac{2}{3}x)dx= \frac{8}{81}x^3+1\frac{1}{3}x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-6),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( \frac{8}{27}+\dfrac{2\frac{2}{3}}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{8}{27}\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{8}{27}\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{8}{27}\cdot (-x)^{2}+2\frac{2}{3}\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{8}{27}x^2+2\frac{2}{3}x = 0 \\ x( \frac{8}{27}x+2\frac{2}{3})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad \frac{8}{27}x+2\frac{2}{3}=0\\ \frac{8}{27} x+2\frac{2}{3} =0 \qquad /-2\frac{2}{3} \\ \frac{8}{27} x= -2\frac{2}{3} \qquad /:\frac{8}{27} \\ x=\displaystyle\frac{-2\frac{2}{3}}{\frac{8}{27}}\\ x=-9 \\ \underline{x_1=-9; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-9&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-9[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-9;0[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= \frac{16}{27}x+2\frac{2}{3} = 0 \\ \\ \frac{16}{27} x+2\frac{2}{3} =0 \qquad /-2\frac{2}{3} \\ \frac{16}{27} x= -2\frac{2}{3} \qquad /:\frac{16}{27} \\ x=\displaystyle\frac{-2\frac{2}{3}}{\frac{16}{27}}\\ x=-4\frac{1}{2} \\ \underline{x_3=-4\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-4\frac{1}{2})=\frac{16}{27}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-4\frac{1}{2}/-6)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-4\frac{1}{2}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-4\frac{1}{2};\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-4\frac{1}{2}[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-9}^{0}\left( \frac{8}{27}x^2+2\frac{2}{3}x\right)dx=\left[ \frac{8}{81}x^3+1\frac{1}{3}x^2\right]_{-9}^{0} \\ =\left(\frac{8}{81}\cdot 0^{3}+1\frac{1}{3}\cdot 0^{2}\right)-\left(\frac{8}{81}\cdot (-9)^{3}+1\frac{1}{3}\cdot (-9)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(36\right)=-36 \\ \\ $