Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 45
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-1x^3+3x+2 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-1x^3+3x+2=-1(x+1)^2(x-2)\\ f'\left(x\right)=-3x^2+3=-3(x+1)(x-1)\\ f''\left(x\right)=-6x=-6x\\ f'''\left(x\right)=-6 \\ F(x)=\int_{}^{}(-1x^3+3x+2)dx=-\frac{1}{4}x^4+1\frac{1}{2}x^2+2x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3(-1+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-1\cdot \infty^3]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-1\cdot (-\infty)^3]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-1\cdot (-x)^{3}+3\cdot (-x)+2 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-1x^3+3x+2 = 0 \\ \\-1x^3+3x+2=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-1\\ \,\small \begin{matrix} (-1x^3&&+3x&+2&):( x +1 )=-1x^2 +x +2 \\ \,-(-1x^3&-1x^2) \\ \hline & x^2&+3x&+2&\\ &-( x^2&+x) \\ \hline && 2x&+2&\\ &&-( 2x&+2) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -1x^{2}+1x+2 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-1 \pm\sqrt{1^{2}-4\cdot \left(-1\right) \cdot 2}}{2\cdot\left(-1\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-1 \pm\sqrt{9}}{-2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-1 \pm3}{-2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-1 +3}{-2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-1 -3}{-2} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=2 \\ \underline{x_1=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-1;2[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-3x^2+3 = 0 \\ \\ -3x^2+3 =0 \qquad /-3 \\ -3x^2= -3 \qquad /:\left(-3\right) \\ x^2=\displaystyle\frac{-3}{-3} \\ x=\pm\sqrt{1} \\ x_1=1 \qquad x_2=-1 \\ \underline{x_3=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1)=6>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-1/0)} \\ f''(1)=-6 \\ f''(1)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1/4)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&1&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;1[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]1;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-6x = 0 \\ x=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_5=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(0)=2\\ f'''(0) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0/2)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{2}\left(-1x^3+3x+2\right)dx=\left[-\frac{1}{4}x^4+1\frac{1}{2}x^2+2x\right]_{-1}^{2} \\ =\left(-\frac{1}{4}\cdot 2^{4}+1\frac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\cdot 2\right)-\left(-\frac{1}{4}\cdot (-1)^{4}+1\frac{1}{2}\cdot (-1)^{2}+2\cdot (-1)\right) \\ =\left(6\right)-\left(-\frac{3}{4}\right)=6\frac{3}{4} \\ \\ $