Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 26
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{4}x+7\frac{7}{8} \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{4}x+7\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}(x+7)(x-9)\\ f'\left(x\right)=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\\ f''\left(x\right)=-\frac{1}{4}\\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{4}x+7\frac{7}{8})dx=-\frac{1}{24}x^3+\frac{1}{8}x^2+7\frac{7}{8}x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,8] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2(-\frac{1}{8}+\dfrac{\frac{1}{4}}{x}+\dfrac{7\frac{7}{8}}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{8}\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{8}\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{1}{8}\cdot (-x)^{2}+\frac{1}{4}\cdot (-x)+7\frac{7}{8} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{4}x+7\frac{7}{8} = 0 \\ \\ \\ -\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{4}x+7\frac{7}{8} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-\frac{1}{4} \pm\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^{2}-4\cdot \left(-\frac{1}{8}\right) \cdot 7\frac{7}{8}}}{2\cdot\left(-\frac{1}{8}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-\frac{1}{4} \pm\sqrt{4}}{-\frac{1}{4}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-\frac{1}{4} \pm2}{-\frac{1}{4}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-\frac{1}{4} +2}{-\frac{1}{4}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-\frac{1}{4} -2}{-\frac{1}{4}} \\ x_{1}=-7 \qquad x_{2}=9 \\ \underline{x_1=-7; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=9; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-7&< x <&9&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-7;9[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-7[\quad \cup \quad]9;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4} = 0 \\ \\ -\frac{1}{4} x+\frac{1}{4} =0 \qquad /-\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} x= -\frac{1}{4} \qquad /:\left(-\frac{1}{4}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-\frac{1}{4}}{-\frac{1}{4}}\\ x=1 \\ \underline{x_3=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(1)=-\frac{1}{4} \\ f''(1)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1/8)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &1&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-7}^{9}\left(-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{4}x+7\frac{7}{8}\right)dx=\left[-\frac{1}{24}x^3+\frac{1}{8}x^2+7\frac{7}{8}x\right]_{-7}^{9} \\ =\left(-\frac{1}{24}\cdot 9^{3}+\frac{1}{8}\cdot 9^{2}+7\frac{7}{8}\cdot 9\right)-\left(-\frac{1}{24}\cdot (-7)^{3}+\frac{1}{8}\cdot (-7)^{2}+7\frac{7}{8}\cdot (-7)\right) \\ =\left(50\frac{5}{8}\right)-\left(-34\frac{17}{24}\right)=85\frac{1}{3} \\ \\ $