Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 60
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-5\frac{1}{16}x^3+10\frac{1}{8}x^2 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-5\frac{1}{16}x^3+10\frac{1}{8}x^2=-5\frac{1}{16}x^2(x-2)\\ f'\left(x\right)=-15\frac{3}{16}x^2+20\frac{1}{4}x=-15\frac{3}{16}x(x-1\frac{1}{3})\\ f''\left(x\right)=-30\frac{3}{8}x+20\frac{1}{4}=-30\frac{3}{8}(x-\frac{2}{3})\\ f'''\left(x\right)=-30\frac{3}{8} \\ F(x)=\int_{}^{}(-5\frac{1}{16}x^3+10\frac{1}{8}x^2)dx=-1\frac{17}{64}x^4+3\frac{3}{8}x^3+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3(-5\frac{1}{16}+\dfrac{10\frac{1}{8}}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-5\frac{1}{16}\cdot \infty^3]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-5\frac{1}{16}\cdot (-\infty)^3]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-5\frac{1}{16}\cdot (-x)^{3}+10\frac{1}{8}\cdot (-x)^{2} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-5\frac{1}{16}x^3+10\frac{1}{8}x^2 = 0 \\ x^2(-5\frac{1}{16}x+10\frac{1}{8})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-5\frac{1}{16}x+10\frac{1}{8}=0\\ -5\frac{1}{16} x+10\frac{1}{8} =0 \qquad /-10\frac{1}{8} \\ -5\frac{1}{16} x= -10\frac{1}{8} \qquad /:\left(-5\frac{1}{16}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-10\frac{1}{8}}{-5\frac{1}{16}}\\ x=2 \\ \underline{x_1=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;2[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-15\frac{3}{16}x^2+20\frac{1}{4}x = 0 \\ x(-15\frac{3}{16}x+20\frac{1}{4})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-15\frac{3}{16}x+20\frac{1}{4}=0\\ -15\frac{3}{16} x+20\frac{1}{4} =0 \qquad /-20\frac{1}{4} \\ -15\frac{3}{16} x= -20\frac{1}{4} \qquad /:\left(-15\frac{3}{16}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-20\frac{1}{4}}{-15\frac{3}{16}}\\ x=1\frac{1}{3} \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=1\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=20\frac{1}{4}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/0)} \\ f''(1\frac{1}{3})=-20\frac{1}{4} \\ f''(1\frac{1}{3})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1\frac{1}{3}/6)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&1\frac{1}{3}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;1\frac{1}{3}[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]1\frac{1}{3};\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-30\frac{3}{8}x+20\frac{1}{4} = 0 \\ \\ -30\frac{3}{8} x+20\frac{1}{4} =0 \qquad /-20\frac{1}{4} \\ -30\frac{3}{8} x= -20\frac{1}{4} \qquad /:\left(-30\frac{3}{8}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-20\frac{1}{4}}{-30\frac{3}{8}}\\ x=\frac{2}{3} \\ \underline{x_5=\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(\frac{2}{3})=3\\ f'''(\frac{2}{3}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (\frac{2}{3}/3)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &\frac{2}{3}&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;\frac{2}{3}[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]\frac{2}{3};\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{2}\left(-5\frac{1}{16}x^3+10\frac{1}{8}x^2\right)dx=\left[-1\frac{17}{64}x^4+3\frac{3}{8}x^3\right]_{0}^{2} \\ =\left(-1\frac{17}{64}\cdot 2^{4}+3\frac{3}{8}\cdot 2^{3}\right)-\left(-1\frac{17}{64}\cdot 0^{4}+3\frac{3}{8}\cdot 0^{3}\right) \\ =\left(6\frac{3}{4}\right)-\left(0\right)=6\frac{3}{4} \\ \\ $