Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 47
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= 4x^3+5x^2-6x \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 4x^3+5x^2-6x=4(x+2)x(x-\frac{3}{4})\\ f'\left(x\right)= 12x^2+10x-6=12(x+1,24)(x-0,404)\\ f''\left(x\right)= 24x+10=24(x+\frac{5}{12})\\ f'''\left(x\right)= 24 \\ F(x)=\int_{}^{}( 4x^3+5x^2-6x)dx= x^4+1\frac{2}{3}x^3-3x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( 4+\dfrac{5}{x}-\dfrac{6}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[4\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[4\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=4\cdot (-x)^{3}+5\cdot (-x)^{2}-6\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 4x^3+5x^2-6x = 0 \\ x( 4x^2+5x-6)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 4x^2+5x-6=0\\ \\ 4x^{2}+5x-6 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-5 \pm\sqrt{5^{2}-4\cdot 4 \cdot \left(-6\right)}}{2\cdot4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-5 \pm\sqrt{121}}{8} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-5 \pm11}{8} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-5 +11}{8} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-5 -11}{8} \\ x_{1}=\frac{3}{4} \qquad x_{2}=-2 \\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=\frac{3}{4}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&0&< x <&\frac{3}{4}&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;0[\quad \cup \quad]\frac{3}{4};\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]0;\frac{3}{4}[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 12x^2+10x-6 = 0 \\ \\ \\ 12x^{2}+10x-6 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-10 \pm\sqrt{10^{2}-4\cdot 12 \cdot \left(-6\right)}}{2\cdot12} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-10 \pm\sqrt{388}}{24} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-10 \pm19,7}{24} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-10 +19,7}{24} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-10 -19,7}{24} \\ x_{1}=0,404 \qquad x_{2}=-1,24 \\ \underline{x_4=-1,24; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=0,404; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1,24)=-19,7 \\ f''(-1,24)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-1,24/7,5)} \\ f''(0,404)=19,7>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0,404/-1,34)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,24&< x <&0,404&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,24[\quad \cup \quad]0,404;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,24;0,404[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 24x+10 = 0 \\ \\ 24 x+10 =0 \qquad /-10 \\ 24 x= -10 \qquad /:24 \\ x=\displaystyle\frac{-10}{24}\\ x=-\frac{5}{12} \\ \underline{x_6=-\frac{5}{12}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-\frac{5}{12})=3,08\\ f'''(-\frac{5}{12}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-\frac{5}{12}/3,08)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{5}{12}&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{5}{12};\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{5}{12}[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2}^{0}\left( 4x^3+5x^2-6x\right)dx=\left[ x^4+1\frac{2}{3}x^3-3x^2\right]_{-2}^{0} \\ =\left(1\cdot 0^{4}+1\frac{2}{3}\cdot 0^{3}-3\cdot 0^{2}\right)-\left(1\cdot (-2)^{4}+1\frac{2}{3}\cdot (-2)^{3}-3\cdot (-2)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(-9\frac{1}{3}\right)=9\frac{1}{3} \\ A=\int_{0}^{\frac{3}{4}}\left( 4x^3+5x^2-6x\right)dx=\left[ x^4+1\frac{2}{3}x^3-3x^2\right]_{0}^{\frac{3}{4}} \\ =\left(1\cdot \frac{3}{4}^{4}+1\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}^{3}-3\cdot \frac{3}{4}^{2}\right)-\left(1\cdot 0^{4}+1\frac{2}{3}\cdot 0^{3}-3\cdot 0^{2}\right) \\ =\left(-0,668\right)-\left(0\right)=-0,668 \\ \\ $