Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 57
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{2}{3}x^3+2x^2-2\frac{2}{3}x-8 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{2}{3}x^3+2x^2-2\frac{2}{3}x-8=\frac{2}{3}(x+3)(x+2)(x-2)\\ f'\left(x\right)= 2x^2+4x-2\frac{2}{3}=2(x+2,53)(x-0,528)\\ f''\left(x\right)= 4x+4=4(x+1)\\ f'''\left(x\right)= 4 \\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{2}{3}x^3+2x^2-2\frac{2}{3}x-8)dx= \frac{1}{6}x^4+\frac{2}{3}x^3-1\frac{1}{3}x^2-8x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( \frac{2}{3}+\dfrac{2}{x}-\dfrac{2\frac{2}{3}}{x^2}-\dfrac{8}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{2}{3}\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{2}{3}\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{2}{3}\cdot (-x)^{3}+2\cdot (-x)^{2}-2\frac{2}{3}\cdot (-x)-8 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{2}{3}x^3+2x^2-2\frac{2}{3}x-8 = 0 \\ \\ \frac{2}{3}x^3+2x^2-2\frac{2}{3}x-8=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_1=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x <&-2&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3;-2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]-2;2[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 2x^2+4x-2\frac{2}{3} = 0 \\ \\ \\ 2x^{2}+4x-2\frac{2}{3} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4\cdot 2 \cdot \left(-2\frac{2}{3}\right)}}{2\cdot2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{37\frac{1}{3}}}{4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm6,11}{4} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-4 +6,11}{4} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-4 -6,11}{4} \\ x_{1}=0,528 \qquad x_{2}=-2,53 \\ \underline{x_4=-2,53; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=0,528; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2,53)=-6,11 \\ f''(-2,53)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-2,53/0,752)} \\ f''(0,528)=6,11>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0,528/-8,75)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2,53&< x <&0,528&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2,53[\quad \cup \quad]0,528;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2,53;0,528[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 4x+4 = 0 \\ \\ 4 x+4 =0 \qquad /-4 \\ 4 x= -4 \qquad /:4 \\ x=\displaystyle\frac{-4}{4}\\ x=-1 \\ \underline{x_6=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-1)=-4\\ f'''(-1) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-1/-4)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-3}^{-2}\left( \frac{2}{3}x^3+2x^2-2\frac{2}{3}x-8\right)dx=\left[ \frac{1}{6}x^4+\frac{2}{3}x^3-1\frac{1}{3}x^2-8x\right]_{-3}^{-2} \\ =\left(\frac{1}{6}\cdot (-2)^{4}+\frac{2}{3}\cdot (-2)^{3}-1\frac{1}{3}\cdot (-2)^{2}-8\cdot (-2)\right)-\left(\frac{1}{6}\cdot (-3)^{4}+\frac{2}{3}\cdot (-3)^{3}-1\frac{1}{3}\cdot (-3)^{2}-8\cdot (-3)\right) \\ =\left(8\right)-\left(7\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} \\ A=\int_{-2}^{2}\left( \frac{2}{3}x^3+2x^2-2\frac{2}{3}x-8\right)dx=\left[ \frac{1}{6}x^4+\frac{2}{3}x^3-1\frac{1}{3}x^2-8x\right]_{-2}^{2} \\ =\left(\frac{1}{6}\cdot 2^{4}+\frac{2}{3}\cdot 2^{3}-1\frac{1}{3}\cdot 2^{2}-8\cdot 2\right)-\left(\frac{1}{6}\cdot (-2)^{4}+\frac{2}{3}\cdot (-2)^{3}-1\frac{1}{3}\cdot (-2)^{2}-8\cdot (-2)\right) \\ =\left(-13\frac{1}{3}\right)-\left(8\right)=-21\frac{1}{3} \\ \\ $