Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 54
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= 3x^3-22x^2+43x+12 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 3x^3-22x^2+43x+12=3(x^2-7,58x+16,2)(x+0,247)\\ f'\left(x\right)= 9x^2-44x+43=9(x-1,35)(x-3,54)\\ f''\left(x\right)= 18x-44=18(x-2\frac{4}{9})\\ f'''\left(x\right)= 18 \\ F(x)=\int_{}^{}( 3x^3-22x^2+43x+12)dx= \frac{3}{4}x^4-7\frac{1}{3}x^3+21\frac{1}{2}x^2+12x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( 3-\dfrac{22}{x}+\dfrac{43}{x^2}+\dfrac{12}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[3\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[3\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=3\cdot (-x)^{3}-22\cdot (-x)^{2}+43\cdot (-x)+12 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 3x^3-22x^2+43x+12 = 0 \\ \\ 3x^3-22x^2+43x+12=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_1=-0,247; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,247&< x\\ \hline f(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,247;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,247[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 9x^2-44x+43 = 0 \\ \\ \\ 9x^{2}-44x+43 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+44 \pm\sqrt{\left(-44\right)^{2}-4\cdot 9 \cdot 43}}{2\cdot9} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+44 \pm\sqrt{388}}{18} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{44 \pm19,7}{18} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{44 +19,7}{18} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{44 -19,7}{18} \\ x_{1}=3,54 \qquad x_{2}=1,35 \\ \underline{x_2=1,35; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=3,54; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(1,35)=-19,7 \\ f''(1,35)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1,35/37,3)} \\ f''(3,54)=19,7>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (3,54/21,6)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &1,35&< x <&3,54&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1,35[\quad \cup \quad]3,54;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1,35;3,54[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 18x-44 = 0 \\ \\ 18 x-44 =0 \qquad /+44 \\ 18 x= 44 \qquad /:18 \\ x=\displaystyle\frac{44}{18}\\ x=2\frac{4}{9} \\ \underline{x_4=2\frac{4}{9}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(2\frac{4}{9})=29,5\\ f'''(2\frac{4}{9}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (2\frac{4}{9}/29,5)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &2\frac{4}{9}&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2\frac{4}{9};\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;2\frac{4}{9}[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\\text{keine Fläche} \\ \\ $