Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 83
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-6\frac{3}{4}x^4-13\frac{1}{2}x^3 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-6\frac{3}{4}x^4-13\frac{1}{2}x^3=-6\frac{3}{4}(x+2)x^3\\ f'\left(x\right)=-27x^3-40\frac{1}{2}x^2=-27(x+1\frac{1}{2})x^2\\ f''\left(x\right)=-81x^2-81x=-81(x+1)x\\ f'''\left(x\right)=-162x-81 \\ F(x)=\int_{}^{}(-6\frac{3}{4}x^4-13\frac{1}{2}x^3)dx=-1\frac{7}{20}x^5-3\frac{3}{8}x^4+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,11\frac{25}{64}] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4(-6\frac{3}{4}-\dfrac{13\frac{1}{2}}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-6\frac{3}{4}\cdot \infty^4]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-6\frac{3}{4}\cdot (-\infty)^4]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-6\frac{3}{4}\cdot (-x)^{4}-13\frac{1}{2}\cdot (-x)^{3} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-6\frac{3}{4}x^4-13\frac{1}{2}x^3 = 0 \\ x^3(-6\frac{3}{4}x-13\frac{1}{2})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-6\frac{3}{4}x-13\frac{1}{2}=0\\ -6\frac{3}{4} x-13\frac{1}{2} =0 \qquad /+13\frac{1}{2} \\ -6\frac{3}{4} x= 13\frac{1}{2} \qquad /:\left(-6\frac{3}{4}\right) \\ x=\displaystyle\frac{13\frac{1}{2}}{-6\frac{3}{4}}\\ x=-2 \\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;0[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-27x^3-40\frac{1}{2}x^2 = 0 \\ x^2(-27x-40\frac{1}{2})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-27x-40\frac{1}{2}=0\\ -27 x-40\frac{1}{2} =0 \qquad /+40\frac{1}{2} \\ -27 x= 40\frac{1}{2} \qquad /:\left(-27\right) \\ x=\displaystyle\frac{40\frac{1}{2}}{-27}\\ x=-1\frac{1}{2} \\ \underline{x_3=-1\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1\frac{1}{2})=-60\frac{3}{4} \\ f''(-1\frac{1}{2})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-1\frac{1}{2}/11\frac{25}{64})} \\ f''(0)=0 \\ f''(0)=0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Terrassenpukt:} (0/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1\frac{1}{2}&< x <&0&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1\frac{1}{2}[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1\frac{1}{2};0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-81x^2-81x = 0 \\ x(-81x-81)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-81x-81=0\\ -81 x-81 =0 \qquad /+81 \\ -81 x= 81 \qquad /:\left(-81\right) \\ x=\displaystyle\frac{81}{-81}\\ x=-1 \\ \underline{x_5=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-1)=6\frac{3}{4}\\ f'''(-1) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-1/6\frac{3}{4})}\\ f'''(0)=0\\ f'''(0) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0/0)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&0&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;0[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2}^{0}\left(-6\frac{3}{4}x^4-13\frac{1}{2}x^3\right)dx=\left[-1\frac{7}{20}x^5-3\frac{3}{8}x^4\right]_{-2}^{0} \\ =\left(-1\frac{7}{20}\cdot 0^{5}-3\frac{3}{8}\cdot 0^{4}\right)-\left(-1\frac{7}{20}\cdot (-2)^{5}-3\frac{3}{8}\cdot (-2)^{4}\right) \\ =\left(0\right)-\left(-10\frac{4}{5}\right)=10\frac{4}{5} \\ \\ $