Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 18
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{8}{49}x^2-\frac{24}{49}x+1\frac{31}{49} \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{8}{49}x^2-\frac{24}{49}x+1\frac{31}{49}=-\frac{8}{49}(x+5)(x-2)\\ f'\left(x\right)=-\frac{16}{49}x-\frac{24}{49}\\ f''\left(x\right)=-\frac{16}{49}\\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{8}{49}x^2-\frac{24}{49}x+1\frac{31}{49})dx=-0,0544x^3-\frac{12}{49}x^2+1\frac{31}{49}x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,2] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2(-\frac{8}{49}-\dfrac{\frac{24}{49}}{x}+\dfrac{1\frac{31}{49}}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{8}{49}\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{8}{49}\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{8}{49}\cdot (-x)^{2}-\frac{24}{49}\cdot (-x)+1\frac{31}{49} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{8}{49}x^2-\frac{24}{49}x+1\frac{31}{49} = 0 \\ \\ \\ -\frac{8}{49}x^{2}-\frac{24}{49}x+1\frac{31}{49} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+\frac{24}{49} \pm\sqrt{\left(-\frac{24}{49}\right)^{2}-4\cdot \left(-\frac{8}{49}\right) \cdot 1\frac{31}{49}}}{2\cdot\left(-\frac{8}{49}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+\frac{24}{49} \pm\sqrt{1\frac{15}{49}}}{-\frac{16}{49}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{\frac{24}{49} \pm1\frac{1}{7}}{-\frac{16}{49}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{\frac{24}{49} +1\frac{1}{7}}{-\frac{16}{49}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{\frac{24}{49} -1\frac{1}{7}}{-\frac{16}{49}} \\ x_{1}=-5 \qquad x_{2}=2 \\ \underline{x_1=-5; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-5&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-5;2[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-5[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-\frac{16}{49}x-\frac{24}{49} = 0 \\ \\ -\frac{16}{49} x-\frac{24}{49} =0 \qquad /+\frac{24}{49} \\ -\frac{16}{49} x= \frac{24}{49} \qquad /:\left(-\frac{16}{49}\right) \\ x=\displaystyle\frac{\frac{24}{49}}{-\frac{16}{49}}\\ x=-1\frac{1}{2} \\ \underline{x_3=-1\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1\frac{1}{2})=-\frac{16}{49} \\ f''(-1\frac{1}{2})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-1\frac{1}{2}/2)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-1\frac{1}{2}&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1\frac{1}{2}[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1\frac{1}{2};\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-5}^{2}\left(-\frac{8}{49}x^2-\frac{24}{49}x+1\frac{31}{49}\right)dx=\left[-0,0544x^3-\frac{12}{49}x^2+1\frac{31}{49}x\right]_{-5}^{2} \\ =\left(-0,0544\cdot 2^{3}-\frac{12}{49}\cdot 2^{2}+1\frac{31}{49}\cdot 2\right)-\left(-0,0544\cdot (-5)^{3}-\frac{12}{49}\cdot (-5)^{2}+1\frac{31}{49}\cdot (-5)\right) \\ =\left(1,85\right)-\left(-7,48\right)=9\frac{1}{3} \\ \\ $