Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 43
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{1}{6}x^3+2x \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{1}{6}x^3+2x=-\frac{1}{6}(x+3,46)x(x-3,46)\\ f'\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^2+2=-\frac{1}{2}(x+2)(x-2)\\ f''\left(x\right)=-1x=-1x\\ f'''\left(x\right)=-1 \\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{1}{6}x^3+2x)dx=-\frac{1}{24}x^4+x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3(-\frac{1}{6}+\dfrac{2}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{6}\cdot \infty^3]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{6}\cdot (-\infty)^3]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{1}{6}\cdot (-x)^{3}+2\cdot (-x) \\ f\left(-x\right)=-\left(-\frac{1}{6}\cdot x^{3}+2\cdot x\right) \\ f\left(-x\right)= -f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zum Ursprung:} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{1}{6}x^3+2x = 0 \\ x(-\frac{1}{6}x^2+2)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-\frac{1}{6}x^2+2=0\\ -\frac{1}{6}x^2+2 =0 \qquad /-2 \\ -\frac{1}{6}x^2= -2 \qquad /:\left(-\frac{1}{6}\right) \\ x^2=\displaystyle\frac{-2}{-\frac{1}{6}} \\ x=\pm\sqrt{12} \\ x_1=3,46 \qquad x_2=-3,46 \\ \underline{x_1=-3,46; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=3,46; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3,46&< x <&0&< x <&3,46&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3,46[\quad \cup \quad]0;3,46[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3,46;0[\quad \cup \quad]3,46;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-\frac{1}{2}x^2+2 = 0 \\ \\ -\frac{1}{2}x^2+2 =0 \qquad /-2 \\ -\frac{1}{2}x^2= -2 \qquad /:\left(-\frac{1}{2}\right) \\ x^2=\displaystyle\frac{-2}{-\frac{1}{2}} \\ x=\pm\sqrt{4} \\ x_1=2 \qquad x_2=-2 \\ \underline{x_4=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2)=2>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-2/-2\frac{2}{3})} \\ f''(2)=-2 \\ f''(2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (2/2\frac{2}{3})} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&2&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;2[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-1x = 0 \\ x=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_6=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(0)=0\\ f'''(0) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0/0)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-3,46}^{0}\left(-\frac{1}{6}x^3+2x\right)dx=\left[-\frac{1}{24}x^4+x^2\right]_{-3,46}^{0} \\ =\left(-\frac{1}{24}\cdot 0^{4}+1\cdot 0^{2}\right)-\left(-\frac{1}{24}\cdot (-3,46)^{4}+1\cdot (-3,46)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(6\right)=-6 \\ A=\int_{0}^{3,46}\left(-\frac{1}{6}x^3+2x\right)dx=\left[-\frac{1}{24}x^4+x^2\right]_{0}^{3,46} \\ =\left(-\frac{1}{24}\cdot 3,46^{4}+1\cdot 3,46^{2}\right)-\left(-\frac{1}{24}\cdot 0^{4}+1\cdot 0^{2}\right) \\ =\left(6\right)-\left(0\right)=6 \\ \\ $