Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 84
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{2}{3}x^4+2x^3-2\frac{2}{3}x^2-8x \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{2}{3}x^4+2x^3-2\frac{2}{3}x^2-8x=\frac{2}{3}(x+3)(x+2)x(x-2)\\ f'\left(x\right)= 2\frac{2}{3}x^3+6x^2-5\frac{1}{3}x-8=2\frac{2}{3}(x+2,57)(x+0,93)(x-1,25)\\ f''\left(x\right)= 8x^2+12x-5\frac{1}{3}=8(x+1,86)(x-0,359)\\ f'''\left(x\right)= 16x+12 \\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{2}{3}x^4+2x^3-2\frac{2}{3}x^2-8x)dx= \frac{2}{15}x^5+\frac{1}{2}x^4-\frac{8}{9}x^3-4x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-8,63),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4( \frac{2}{3}+\dfrac{2}{x}-\dfrac{2\frac{2}{3}}{x^2}-\dfrac{8}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{2}{3}\cdot \infty^4]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{2}{3}\cdot (-\infty)^4]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{2}{3}\cdot (-x)^{4}+2\cdot (-x)^{3}-2\frac{2}{3}\cdot (-x)^{2}-8\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{2}{3}x^4+2x^3-2\frac{2}{3}x^2-8x = 0 \\ x( \frac{2}{3}x^3+2x^2-2\frac{2}{3}x-8)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad \frac{2}{3}x^3+2x^2-2\frac{2}{3}x-8=0\\ \frac{2}{3}x^3+2x^2-2\frac{2}{3}x-8=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_1=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x <&-2&< x <&0&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]-2;0[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3;-2[\quad \cup \quad]0;2[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 2\frac{2}{3}x^3+6x^2-5\frac{1}{3}x-8 = 0 \\ \\ 2\frac{2}{3}x^3+6x^2-5\frac{1}{3}x-8=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_5=-2,57; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=-0,93; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=1,25; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2,57)=16,8>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-2,57/-1,92)} \\ f''(-0,93)=-9,58 \\ f''(-0,93)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-0,93/4,02)} \\ f''(1,25)=22,3>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (1,25/-8,63)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2,57&< x <&-0,93&< x <&1,25&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2,57;-0,93[\quad \cup \quad]1,25;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2,57[\quad \cup \quad]-0,93;1,25[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 8x^2+12x-5\frac{1}{3} = 0 \\ \\ \\ 8x^{2}+12x-5\frac{1}{3} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-12 \pm\sqrt{12^{2}-4\cdot 8 \cdot \left(-5\frac{1}{3}\right)}}{2\cdot8} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-12 \pm\sqrt{314\frac{2}{3}}}{16} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-12 \pm17,7}{16} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-12 +17,7}{16} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-12 -17,7}{16} \\ x_{1}=0,359 \qquad x_{2}=-1,86 \\ \underline{x_8=-1,86; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=0,359; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-1,86)=0,771\\ f'''(-1,86) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-1,86/0,771)}\\ f'''(0,359)=-3,11\\ f'''(0,359) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0,359/-3,11)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,86&< x <&0,359&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,86[\quad \cup \quad]0,359;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,86;0,359[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-3}^{-2}\left( \frac{2}{3}x^4+2x^3-2\frac{2}{3}x^2-8x\right)dx=\left[ \frac{2}{15}x^5+\frac{1}{2}x^4-\frac{8}{9}x^3-4x^2\right]_{-3}^{-2} \\ =\left(\frac{2}{15}\cdot (-2)^{5}+\frac{1}{2}\cdot (-2)^{4}-\frac{8}{9}\cdot (-2)^{3}-4\cdot (-2)^{2}\right)-\left(\frac{2}{15}\cdot (-3)^{5}+\frac{1}{2}\cdot (-3)^{4}-\frac{8}{9}\cdot (-3)^{3}-4\cdot (-3)^{2}\right) \\ =\left(-5\frac{7}{45}\right)-\left(-3\frac{9}{10}\right)=-1\frac{23}{90} \\ A=\int_{-2}^{0}\left( \frac{2}{3}x^4+2x^3-2\frac{2}{3}x^2-8x\right)dx=\left[ \frac{2}{15}x^5+\frac{1}{2}x^4-\frac{8}{9}x^3-4x^2\right]_{-2}^{0} \\ =\left(\frac{2}{15}\cdot 0^{5}+\frac{1}{2}\cdot 0^{4}-\frac{8}{9}\cdot 0^{3}-4\cdot 0^{2}\right)-\left(\frac{2}{15}\cdot (-2)^{5}+\frac{1}{2}\cdot (-2)^{4}-\frac{8}{9}\cdot (-2)^{3}-4\cdot (-2)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(-5\frac{7}{45}\right)=5\frac{7}{45} \\ A=\int_{0}^{2}\left( \frac{2}{3}x^4+2x^3-2\frac{2}{3}x^2-8x\right)dx=\left[ \frac{2}{15}x^5+\frac{1}{2}x^4-\frac{8}{9}x^3-4x^2\right]_{0}^{2} \\ =\left(\frac{2}{15}\cdot 2^{5}+\frac{1}{2}\cdot 2^{4}-\frac{8}{9}\cdot 2^{3}-4\cdot 2^{2}\right)-\left(\frac{2}{15}\cdot 0^{5}+\frac{1}{2}\cdot 0^{4}-\frac{8}{9}\cdot 0^{3}-4\cdot 0^{2}\right) \\ =\left(-10\frac{38}{45}\right)-\left(0\right)=-10\frac{38}{45} \\ \\ $