Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 31
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{3}{49}x^2-\frac{6}{49}x-2\frac{46}{49} \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{3}{49}x^2-\frac{6}{49}x-2\frac{46}{49}=\frac{3}{49}(x+6)(x-8)\\ f'\left(x\right)= \frac{6}{49}x-\frac{6}{49}\\ f''\left(x\right)= \frac{6}{49}\\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{3}{49}x^2-\frac{6}{49}x-2\frac{46}{49})dx= \frac{1}{49}x^3-\frac{3}{49}x^2-2\frac{46}{49}x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-3),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( \frac{3}{49}-\dfrac{\frac{6}{49}}{x}-\dfrac{2\frac{46}{49}}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{3}{49}\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{3}{49}\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{3}{49}\cdot (-x)^{2}-\frac{6}{49}\cdot (-x)-2\frac{46}{49} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{3}{49}x^2-\frac{6}{49}x-2\frac{46}{49} = 0 \\ \\ \\ \frac{3}{49}x^{2}-\frac{6}{49}x-2\frac{46}{49} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+\frac{6}{49} \pm\sqrt{\left(-\frac{6}{49}\right)^{2}-4\cdot \frac{3}{49} \cdot \left(-2\frac{46}{49}\right)}}{2\cdot\frac{3}{49}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+\frac{6}{49} \pm\sqrt{\frac{36}{49}}}{\frac{6}{49}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{\frac{6}{49} \pm\frac{6}{7}}{\frac{6}{49}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{\frac{6}{49} +\frac{6}{7}}{\frac{6}{49}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{\frac{6}{49} -\frac{6}{7}}{\frac{6}{49}} \\ x_{1}=8 \qquad x_{2}=-6 \\ \underline{x_1=-6; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=8; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-6&< x <&8&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-6[\quad \cup \quad]8;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-6;8[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= \frac{6}{49}x-\frac{6}{49} = 0 \\ \\ \frac{6}{49} x-\frac{6}{49} =0 \qquad /+\frac{6}{49} \\ \frac{6}{49} x= \frac{6}{49} \qquad /:\frac{6}{49} \\ x=\displaystyle\frac{\frac{6}{49}}{\frac{6}{49}}\\ x=1 \\ \underline{x_3=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(1)=\frac{6}{49}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (1/-3)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &1&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-6}^{8}\left( \frac{3}{49}x^2-\frac{6}{49}x-2\frac{46}{49}\right)dx=\left[ \frac{1}{49}x^3-\frac{3}{49}x^2-2\frac{46}{49}x\right]_{-6}^{8} \\ =\left(\frac{1}{49}\cdot 8^{3}-\frac{3}{49}\cdot 8^{2}-2\frac{46}{49}\cdot 8\right)-\left(\frac{1}{49}\cdot (-6)^{3}-\frac{3}{49}\cdot (-6)^{2}-2\frac{46}{49}\cdot (-6)\right) \\ =\left(-16\frac{48}{49}\right)-\left(11\frac{1}{49}\right)=-28 \\ \\ $