Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 33
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-1\frac{1}{4}x^2-10x-15 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-1\frac{1}{4}x^2-10x-15=-1\frac{1}{4}(x+6)(x+2)\\ f'\left(x\right)=-2\frac{1}{2}x-10\\ f''\left(x\right)=-2\frac{1}{2}\\ F(x)=\int_{}^{}(-1\frac{1}{4}x^2-10x-15)dx=-\frac{5}{12}x^3-5x^2-15x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,5] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2(-1\frac{1}{4}-\dfrac{10}{x}-\dfrac{15}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-1\frac{1}{4}\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-1\frac{1}{4}\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-1\frac{1}{4}\cdot (-x)^{2}-10\cdot (-x)-15 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-1\frac{1}{4}x^2-10x-15 = 0 \\ \\ \\ -1\frac{1}{4}x^{2}-10x-15 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+10 \pm\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\cdot \left(-1\frac{1}{4}\right) \cdot \left(-15\right)}}{2\cdot\left(-1\frac{1}{4}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+10 \pm\sqrt{25}}{-2\frac{1}{2}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{10 \pm5}{-2\frac{1}{2}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{10 +5}{-2\frac{1}{2}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{10 -5}{-2\frac{1}{2}} \\ x_{1}=-6 \qquad x_{2}=-2 \\ \underline{x_1=-6; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-6&< x <&-2&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-6;-2[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-6[\quad \cup \quad]-2;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-2\frac{1}{2}x-10 = 0 \\ \\ -2\frac{1}{2} x-10 =0 \qquad /+10 \\ -2\frac{1}{2} x= 10 \qquad /:\left(-2\frac{1}{2}\right) \\ x=\displaystyle\frac{10}{-2\frac{1}{2}}\\ x=-4 \\ \underline{x_3=-4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-4)=-2\frac{1}{2} \\ f''(-4)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-4/5)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-4&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-4[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-4;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-6}^{-2}\left(-1\frac{1}{4}x^2-10x-15\right)dx=\left[-\frac{5}{12}x^3-5x^2-15x\right]_{-6}^{-2} \\ =\left(-\frac{5}{12}\cdot (-2)^{3}-5\cdot (-2)^{2}-15\cdot (-2)\right)-\left(-\frac{5}{12}\cdot (-6)^{3}-5\cdot (-6)^{2}-15\cdot (-6)\right) \\ =\left(13\frac{1}{3}\right)-\left(7,11\cdot 10^{-14}\right)=13\frac{1}{3} \\ \\ $