Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 41
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^3-3x^2 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^3-3x^2=x^2(x-3)\\ f'\left(x\right)= 3x^2-6x=3x(x-2)\\ f''\left(x\right)= 6x-6=6(x-1)\\ f'''\left(x\right)= 6 \\ F(x)=\int_{}^{}( x^3-3x^2)dx= \frac{1}{4}x^4-1x^3+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( 1-\dfrac{3}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{3}-3\cdot (-x)^{2} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^3-3x^2 = 0 \\ x^2( x-3)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad x-3=0\\ x-3 =0 \qquad /+3 \\ x=3 \\ \underline{x_1=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]3;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;3[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 3x^2-6x = 0 \\ x( 3x-6)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 3x-6=0\\ 3 x-6 =0 \qquad /+6 \\ 3 x= 6 \qquad /:3 \\ x=\displaystyle\frac{6}{3}\\ x=2 \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=-6 \\ f''(0)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0/0)} \\ f''(2)=6>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2/-4)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&2&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;2[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 6x-6 = 0 \\ \\ 6 x-6 =0 \qquad /+6 \\ 6 x= 6 \qquad /:6 \\ x=\displaystyle\frac{6}{6}\\ x=1 \\ \underline{x_5=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(1)=-2\\ f'''(1) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1/-2)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &1&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{3}\left( x^3-3x^2\right)dx=\left[ \frac{1}{4}x^4-1x^3\right]_{0}^{3} \\ =\left(\frac{1}{4}\cdot 3^{4}-1\cdot 3^{3}\right)-\left(\frac{1}{4}\cdot 0^{4}-1\cdot 0^{3}\right) \\ =\left(-6\frac{3}{4}\right)-\left(0\right)=-6\frac{3}{4} \\ \\ $