Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 30
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{7}{9}x^2+4\frac{2}{3}x \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{7}{9}x^2+4\frac{2}{3}x=-\frac{7}{9}x(x-6)\\ f'\left(x\right)=-1\frac{5}{9}x+4\frac{2}{3}\\ f''\left(x\right)=-1\frac{5}{9}\\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{7}{9}x^2+4\frac{2}{3}x)dx=-\frac{7}{27}x^3+2\frac{1}{3}x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,7] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2(-\frac{7}{9}+\dfrac{4\frac{2}{3}}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{7}{9}\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{7}{9}\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{7}{9}\cdot (-x)^{2}+4\frac{2}{3}\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{7}{9}x^2+4\frac{2}{3}x = 0 \\ x(-\frac{7}{9}x+4\frac{2}{3})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-\frac{7}{9}x+4\frac{2}{3}=0\\ -\frac{7}{9} x+4\frac{2}{3} =0 \qquad /-4\frac{2}{3} \\ -\frac{7}{9} x= -4\frac{2}{3} \qquad /:\left(-\frac{7}{9}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-4\frac{2}{3}}{-\frac{7}{9}}\\ x=6 \\ \underline{x_1=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=6; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&6&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;6[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]6;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-1\frac{5}{9}x+4\frac{2}{3} = 0 \\ \\ -1\frac{5}{9} x+4\frac{2}{3} =0 \qquad /-4\frac{2}{3} \\ -1\frac{5}{9} x= -4\frac{2}{3} \qquad /:\left(-1\frac{5}{9}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-4\frac{2}{3}}{-1\frac{5}{9}}\\ x=3 \\ \underline{x_3=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(3)=-1\frac{5}{9} \\ f''(3)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (3/7)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &3&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;3[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]3;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{6}\left(-\frac{7}{9}x^2+4\frac{2}{3}x\right)dx=\left[-\frac{7}{27}x^3+2\frac{1}{3}x^2\right]_{0}^{6} \\ =\left(-\frac{7}{27}\cdot 6^{3}+2\frac{1}{3}\cdot 6^{2}\right)-\left(-\frac{7}{27}\cdot 0^{3}+2\frac{1}{3}\cdot 0^{2}\right) \\ =\left(28\right)-\left(0\right)=28 \\ \\ $