Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 28
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{4}{9}x^2+\frac{4}{9}x+\frac{8}{9} \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{4}{9}x^2+\frac{4}{9}x+\frac{8}{9}=-\frac{4}{9}(x+1)(x-2)\\ f'\left(x\right)=-\frac{8}{9}x+\frac{4}{9}\\ f''\left(x\right)=-\frac{8}{9}\\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{4}{9}x^2+\frac{4}{9}x+\frac{8}{9})dx=-\frac{4}{27}x^3+\frac{2}{9}x^2+\frac{8}{9}x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,1] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2(-\frac{4}{9}+\dfrac{\frac{4}{9}}{x}+\dfrac{\frac{8}{9}}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{4}{9}\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{4}{9}\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{4}{9}\cdot (-x)^{2}+\frac{4}{9}\cdot (-x)+\frac{8}{9} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{4}{9}x^2+\frac{4}{9}x+\frac{8}{9} = 0 \\ \\ \\ -\frac{4}{9}x^{2}+\frac{4}{9}x+\frac{8}{9} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-\frac{4}{9} \pm\sqrt{\left(\frac{4}{9}\right)^{2}-4\cdot \left(-\frac{4}{9}\right) \cdot \frac{8}{9}}}{2\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-\frac{4}{9} \pm\sqrt{1\frac{7}{9}}}{-\frac{8}{9}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-\frac{4}{9} \pm1\frac{1}{3}}{-\frac{8}{9}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-\frac{4}{9} +1\frac{1}{3}}{-\frac{8}{9}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-\frac{4}{9} -1\frac{1}{3}}{-\frac{8}{9}} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=2 \\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;2[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-\frac{8}{9}x+\frac{4}{9} = 0 \\ \\ -\frac{8}{9} x+\frac{4}{9} =0 \qquad /-\frac{4}{9} \\ -\frac{8}{9} x= -\frac{4}{9} \qquad /:\left(-\frac{8}{9}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-\frac{4}{9}}{-\frac{8}{9}}\\ x=\frac{1}{2} \\ \underline{x_3=\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(\frac{1}{2})=-\frac{8}{9} \\ f''(\frac{1}{2})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (\frac{1}{2}/1)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &\frac{1}{2}&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;\frac{1}{2}[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]\frac{1}{2};\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{2}\left(-\frac{4}{9}x^2+\frac{4}{9}x+\frac{8}{9}\right)dx=\left[-\frac{4}{27}x^3+\frac{2}{9}x^2+\frac{8}{9}x\right]_{-1}^{2} \\ =\left(-\frac{4}{27}\cdot 2^{3}+\frac{2}{9}\cdot 2^{2}+\frac{8}{9}\cdot 2\right)-\left(-\frac{4}{27}\cdot (-1)^{3}+\frac{2}{9}\cdot (-1)^{2}+\frac{8}{9}\cdot (-1)\right) \\ =\left(1\frac{13}{27}\right)-\left(-\frac{14}{27}\right)=2 \\ \\ $