Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 09
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^2-2 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^2-2=(x+1,41)(x-1,41)\\ f'\left(x\right)= 2x\\ f''\left(x\right)= 2\\ F(x)=\int_{}^{}( x^2-2)dx= \frac{1}{3}x^3-2x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-2),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( 1-\dfrac{2}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{2}-2 \\ f\left(-x\right)=1\cdot x^{2}-2 \\ f\left(-x\right)= f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zur y-Achse:} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^2-2 = 0 \\ \\ 1x^2-2 =0 \qquad /+2 \\ 1x^2= 2 \qquad /:1 \\ x^2=\displaystyle\frac{2}{1} \\ x=\pm\sqrt{2} \\ x_1=1,41 \qquad x_2=-1,41 \\ \underline{x_1=-1,41; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1,41; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,41&< x <&1,41&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,41[\quad \cup \quad]1,41;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,41;1,41[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 2x = 0 \\ x=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=2>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/-2)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1,41}^{1,41}\left( x^2-2\right)dx=\left[ \frac{1}{3}x^3-2x\right]_{-1,41}^{1,41} \\ =\left(\frac{1}{3}\cdot 1,41^{3}-2\cdot 1,41\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot (-1,41)^{3}-2\cdot (-1,41)\right) \\ =\left(-1,89\right)-\left(1,89\right)=-3,77 \\ \\ $