Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 35
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{24}{49}x^2+2\frac{22}{49}x+2\frac{46}{49} \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{24}{49}x^2+2\frac{22}{49}x+2\frac{46}{49}=-\frac{24}{49}(x+1)(x-6)\\ f'\left(x\right)=-\frac{48}{49}x+2\frac{22}{49}\\ f''\left(x\right)=-\frac{48}{49}\\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{24}{49}x^2+2\frac{22}{49}x+2\frac{46}{49})dx=-\frac{8}{49}x^3+1\frac{11}{49}x^2+2\frac{46}{49}x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,6] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2(-\frac{24}{49}+\dfrac{2\frac{22}{49}}{x}+\dfrac{2\frac{46}{49}}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{24}{49}\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{24}{49}\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{24}{49}\cdot (-x)^{2}+2\frac{22}{49}\cdot (-x)+2\frac{46}{49} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{24}{49}x^2+2\frac{22}{49}x+2\frac{46}{49} = 0 \\ \\ \\ -\frac{24}{49}x^{2}+2\frac{22}{49}x+2\frac{46}{49} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-2\frac{22}{49} \pm\sqrt{\left(2\frac{22}{49}\right)^{2}-4\cdot \left(-\frac{24}{49}\right) \cdot 2\frac{46}{49}}}{2\cdot\left(-\frac{24}{49}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2\frac{22}{49} \pm\sqrt{11\frac{37}{49}}}{-\frac{48}{49}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2\frac{22}{49} \pm3\frac{3}{7}}{-\frac{48}{49}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-2\frac{22}{49} +3\frac{3}{7}}{-\frac{48}{49}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-2\frac{22}{49} -3\frac{3}{7}}{-\frac{48}{49}} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=6 \\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=6; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&6&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;6[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]6;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-\frac{48}{49}x+2\frac{22}{49} = 0 \\ \\ -\frac{48}{49} x+2\frac{22}{49} =0 \qquad /-2\frac{22}{49} \\ -\frac{48}{49} x= -2\frac{22}{49} \qquad /:\left(-\frac{48}{49}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-2\frac{22}{49}}{-\frac{48}{49}}\\ x=2\frac{1}{2} \\ \underline{x_3=2\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(2\frac{1}{2})=-\frac{48}{49} \\ f''(2\frac{1}{2})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (2\frac{1}{2}/6)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &2\frac{1}{2}&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;2\frac{1}{2}[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2\frac{1}{2};\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{6}\left(-\frac{24}{49}x^2+2\frac{22}{49}x+2\frac{46}{49}\right)dx=\left[-\frac{8}{49}x^3+1\frac{11}{49}x^2+2\frac{46}{49}x\right]_{-1}^{6} \\ =\left(-\frac{8}{49}\cdot 6^{3}+1\frac{11}{49}\cdot 6^{2}+2\frac{46}{49}\cdot 6\right)-\left(-\frac{8}{49}\cdot (-1)^{3}+1\frac{11}{49}\cdot (-1)^{2}+2\frac{46}{49}\cdot (-1)\right) \\ =\left(26\frac{22}{49}\right)-\left(-1\frac{27}{49}\right)=28 \\ \\ $