Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Beispiel Nr: 12
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=-1x^2+4x-7 \ <br/> \bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-1x^2+4x-7\\ f'\left(x\right)=-2x+4\\ f''\left(x\right)=-2\\ F(x)=\int_{}^{}(-1x^2+4x-7)dx=-\frac{1}{3}x^3+2x^2-7x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,(-3)] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2(-1+\dfrac{4}{x}-\dfrac{7}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-1\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-1\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-1\cdot (-x)^{2}+4\cdot (-x)-7 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-1x^2+4x-7 = 0 \\ \\ -1x^{2}+4x-7 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4 \cdot \left(-1\right) \cdot \left(-7\right)}}{2\cdot\left(-1\right)}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{-12}}{-2}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)<0\quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-2x+4 = 0 \\ \\ -2 x+4 =0 \qquad /-4 \\ -2 x= -4 \qquad /:\left(-2\right) \\ x=\displaystyle\frac{-4}{-2}\\ x=2 \\ \underline{x_1=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(2)=-2 \\ f''(2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (2/-3)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &2&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;2[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\\text{keine Fläche} \\ \\ \end{array}$