Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 89
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^4-3x^3 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^4-3x^3=x^3(x-3)\\ f'\left(x\right)= 4x^3-9x^2=4x^2(x-2\frac{1}{4})\\ f''\left(x\right)= 12x^2-18x=12x(x-1\frac{1}{2})\\ f'''\left(x\right)= 24x-18 \\ F(x)=\int_{}^{}( x^4-3x^3)dx= \frac{1}{5}x^5-\frac{3}{4}x^4+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-8,54),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4( 1-\dfrac{3}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^4]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^4]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{4}-3\cdot (-x)^{3} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^4-3x^3 = 0 \\ x^3( x-3)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad x-3=0\\ x-3 =0 \qquad /+3 \\ x=3 \\ \underline{x_1=0; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;3[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 4x^3-9x^2 = 0 \\ x^2( 4x-9)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 4x-9=0\\ 4 x-9 =0 \qquad /+9 \\ 4 x= 9 \qquad /:4 \\ x=\displaystyle\frac{9}{4}\\ x=2\frac{1}{4} \\ \underline{x_3=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=2\frac{1}{4}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=0 \\ f''(0)=0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Terrassenpukt:} (0/0)} \\ f''(2\frac{1}{4})=20\frac{1}{4}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2\frac{1}{4}/-8,54)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&2\frac{1}{4}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2\frac{1}{4};\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;2\frac{1}{4}[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 12x^2-18x = 0 \\ x( 12x-18)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 12x-18=0\\ 12 x-18 =0 \qquad /+18 \\ 12 x= 18 \qquad /:12 \\ x=\displaystyle\frac{18}{12}\\ x=1\frac{1}{2} \\ \underline{x_5=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=1\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(0)=0\\ f'''(0) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0/0)}\\ f'''(1\frac{1}{2})=-5\frac{1}{16}\\ f'''(1\frac{1}{2}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1\frac{1}{2}/-5\frac{1}{16})}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&1\frac{1}{2}&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]1\frac{1}{2};\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;1\frac{1}{2}[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{3}\left( x^4-3x^3\right)dx=\left[ \frac{1}{5}x^5-\frac{3}{4}x^4\right]_{0}^{3} \\ =\left(\frac{1}{5}\cdot 3^{5}-\frac{3}{4}\cdot 3^{4}\right)-\left(\frac{1}{5}\cdot 0^{5}-\frac{3}{4}\cdot 0^{4}\right) \\ =\left(-12\frac{3}{20}\right)-\left(0\right)=-12\frac{3}{20} \\ \\ $